Ammortamento americano: guida completa con teoria ed esempi
In questa guida vediamo l’ammortamento americano, chiamato anche “metodo del fondo”, che è una delle modalità con cui si può rimborsare un prestito o un mutuo.
Rispetto all’ammortamento francese, questo argomento presenta alcuni elementi in comune, ma si basa su un principio completamente diverso.
Nell’ammortamento francese la rata è composta da quota capitale e quota interessi, ed entrambe variano nel tempo pur mantenendo la rata totale costante.
Nell’ammortamento americano, invece, il debitore paga sempre e solo gli interessi sul debito iniziale, mentre accumula parallelamente una somma in un fondo che, alla scadenza, servirà a restituire tutto il capitale in un’unica soluzione.
In questa guida vediamo la logica teorica, le formule principali, un esempio numerico completo, gli errori più comuni e i consigli per affrontare bene l’argomento all’esame.
Indice:
Che cos’è l’ammortamento americano
L’ammortamento americano è un metodo di rimborso di un prestito in cui il debitore paga, a ogni periodo, una rata R composta da due parti: una quota di interessi I e una quota Q che viene versata in un fondo di accumulazione.
A differenza dell’ammortamento francese, qui:
la quota di interessi I è sempre costante, perché si calcola sempre sul debito iniziale invariato;
la quota Q non serve a ridurre subito il debito, ma viene depositata in un fondo che matura interessi;
il debito iniziale D0 viene restituito tutto insieme, alla fine del piano, usando il capitale accumulato nel fondo.
In altre parole, il debitore continua a pagare interessi sull’intero debito per tutta la durata del prestito, mentre “da parte” costruisce, poco alla volta, la somma necessaria a estinguere il debito in un solo colpo all’ultima scadenza.
La struttura della rata
Come nell’ammortamento francese, anche nell'ammortamento americano, la rata è divisa in due componenti, ma il loro significato è diverso.
I (quota interessi) è l’interesse calcolato sul debito iniziale:
I = i · D0
dove:
i è il tasso di interesse richiesto dalla banca sul prestito;
D0 è il debito iniziale (che resta invariato per tutta la durata, quindi I è costante in ogni periodo).
Q (quota fondo) è la somma che il debitore versa periodicamente in un fondo di accumulazione, il quale matura interessi a un tasso i′ (il tasso di interesse sul fondo), che in generale è diverso dal tasso i pagato sul prestito.
La rata complessiva è quindi:
R = I + Q
Essendo sia I sia Q costanti nel tempo, anche la rata R è costante per tutta la durata del piano.
Come si calcola la quota Q
Il punto chiave dell’ammortamento americano è che la somma di tutte le quote Q versate nel fondo di accumulazione, comprensive degli interessi maturati al tasso i′, deve essere esattamente uguale al debito iniziale D0 alla fine del piano.
Questo significa che le quote Q possono essere trattate come le rate di una rendita, utilizzando la formula del valore futuro di una rendita per collegare Q e D0:
D0 = Q · [(1 + i′)^n − 1] / i′
Da questa formula si può ricavare direttamente Q, isolandolo:
Q = D0 · i′ / [(1 + i′)^n − 1]
dove:
D0 è il debito iniziale;
i′ è il tasso di interesse sul fondo;
n è il numero di periodi (rate) del piano.
Questa è la formula fondamentale dell’ammortamento americano: permette di calcolare l’importo da versare ogni periodo nel fondo affinché, alla scadenza, si accumuli esattamente l’importo D0.
Lo schema logico
Per fissare bene la logica dell’ammortamento americano, è utile pensarlo come uno schema tra due soggetti: il debitore (per esempio Mario) e la banca.
All’inizio: la banca presta a Mario l’importo D0.
Ogni periodo: Mario paga alla banca la quota interessi I (sempre uguale, perché calcolata su D0 che non cambia).
Allo stesso tempo, Mario versa la quota Q in un fondo separato, che genera interessi al tasso i′.
Alla fine del piano: il fondo, grazie ai versamenti periodici di Q e agli interessi maturati, ha accumulato esattamente D0.
Mario preleva questa somma dal fondo e la usa per restituire integralmente il debito alla banca.
Il punto centrale da ricordare è questo: nell’ammortamento americano il debito residuo verso la banca resta sempre uguale a D0 fino all’ultimo periodo, mentre cresce parallelamente il valore del fondo, fino a raggiungere D0 proprio all’ultima scadenza.
Differenze tra ammortamento francese e ammortamento americano
Confrontare i due metodi è utile perché è un errore molto comune confonderli.
Ammortamento francese: la rata è composta da quota capitale (Ck) e quota interessi (Ik), entrambe variabili nel tempo, con la rata totale costante.
Il debito residuo diminuisce gradualmente a ogni pagamento, fino ad arrivare a zero all’ultima rata.
Ammortamento americano: la rata è composta da quota interessi (I) e quota fondo (Q), con I costante perché calcolata sul debito iniziale, e Q versata in un fondo separato.
Il debito verso la banca resta invariato fino alla fine, e viene estinto in un’unica soluzione con il capitale accumulato nel fondo.
La differenza sostanziale è quindi questa: nell'ammortamento francese il debito si riduce gradualmente rata dopo rata, mentre nell’ammortamento americano il debito resta fermo a D0 fino all’ultimo periodo, e viene ripagato tutto insieme grazie al fondo di accumulazione.
Esempio numerico completo
Vediamo ora un esempio numerico completo, che mostra passo passo come si applicano le formule.
Traccia
Un prestito di 20.000 euro viene rimborsato mediante il metodo dell’ammortamento americano, con 5 pagamenti annuali.
Il prestito prevede un tasso di interesse nominale convertibile due volte l'anno pari al 10% (j2 = 10%), mentre il fondo di accumulazione genera un tasso di interesse nominale convertibile dodici volte l'anno pari all'8% (j12 = 8%).
Calcolare:
a) la quota di interessi annua I pagata sul prestito;
b) la quota Q da versare annualmente nel fondo;
c) la rata annua complessiva R.
Passo 1 – Trasformare il tasso del prestito in tasso annuo effettivo
Il tasso sul prestito è nominale convertibile semestralmente, quindi si deve trovare prima il tasso semestrale effettivo:
i2 = j2 / 2 = 10% / 2 = 5%
Si trasforma poi il tasso semestrale in tasso annuo effettivo:
i = (1 + i2)^2 − 1i = (1 + 0,05)^2 − 1i = 1,1025 − 1 = 0,1025 → i = 10,25%
Passo 2 – Calcolare la quota interessi I come richiesto dal punto a della traccia
Si applica la formula:
I = i · D0I = 0,1025 · 20.000 = 2.050€
Ogni anno, quindi, viene corrisposta alla banca una quota di 2.050€ di soli interessi.
Passo 3 – Trasformare il tasso del fondo in tasso annuo effettivo
Il tasso sul fondo è nominale convertibile dodici volte l’anno (mensilmente), quindi si trova prima il tasso mensile effettivo:
i12 = j12 / 12 = 8% / 12 = 0,67%
Si trasforma poi il tasso mensile in tasso annuo effettivo:
i′ = (1 + i12)^12 − 1i′ = (1 + 0,0067)^12 − 1i′ ≈ 0,0830 → i′ = 8,30%
Passo 4 – Calcolare la quota Q come richiesto dal punto b della traccia
Si applica la formula:
Q = D0 · i′ / [(1 + i′)^n − 1]
Sostituendo i valori:
Q = 20.000 · 0,0830 / [(1 + 0,0830)^5 − 1]≈ 3.388,80€
Questa è la somma che deve essere versata ogni anno nel fondo, affinché, dopo 5 anni e con gli interessi maturati all’8,30% annuo, si accumulino esattamente 20.000€.
Passo 5 – Calcolare la rata totale R come richiesto dal punto c della traccia
La rata annua complessiva è:
R = I + QR = 2.050 + 3.388,80 = 5.438,80€
Ogni anno, per 5 anni, viene pagata una rata di 5.438,80€. Di questi:
2.050€ sono corrisposti alla banca come interessi sul debito, che resta pari a 20.000€ fino alla scadenza;
3.388,80€ vengono versati in un fondo separato, che matura interessi all’8,30% annuo.
Alla fine del quinto anno, il fondo avrà accumulato esattamente 20.000€, importo utilizzato per estinguere integralmente il debito verso la banca.
Errori tipici sull’ammortamento americano
Ci sono alcuni errori che si commettono spesso quando si affronta questo argomento per la prima volta.
Confondere la quota Q con la quota capitale dell'ammortamento francese
Nell’ammortamento americano, Q non riduce il debito residuo con la banca: viene versata in un fondo separato. Il debito verso la banca resta D0 fino alla fine.
Dimenticare che il tasso sul prestito e il tasso sul fondo sono diversi
Il tasso i (sul prestito) e il tasso i′ (sul fondo) sono due tassi distinti e vanno tenuti ben separati nei calcoli.
Usare lo stesso tasso per entrambi porta sempre a un risultato sbagliato.
Non convertire correttamente i tassi nominali
Quando il testo dell’esercizio fornisce un tasso nominale convertibile (per esempio j2 o j12), bisogna prima trovare il tasso periodale (semestrale, mensile…) e poi trasformarlo nel tasso annuo effettivo (che si usa solitamente), prima di usarlo nelle formule.
Applicare la formula dell'ammortamento francese per errore
Capita di provare a calcolare quota capitale e quota interessi come nel piano francese. Nell’americano, invece, la struttura è I = i·D0 (costante) e Q calcolata con la formula del fondo di accumulazione.
Sbagliare a isolare i′ quando è l’incognita
In alcuni esercizi viene chiesto di calcolare il tasso di interesse sul fondo i′, conoscendo D0, R, i e n.
In questi casi bisogna prima ricavare Q (sottraendo la quota interessi dalla rata), e poi risolvere l’equazione del valore futuro della rendita rispetto a i′.
Domande frequenti
Domanda: Che cos’è l’ammortamento americano?
Risposta: È un metodo di rimborso del debito in cui il debitore paga, a ogni periodo, una rata costante composta da quota interessi (calcolata sul debito iniziale) e quota fondo (versata in un fondo di accumulazione), che alla fine servirà a restituire tutto il capitale in un’unica soluzione.
Domanda: Perché la quota interessi I è sempre costante nell’ammortamento americano?
Risposta: Perché si calcola come I = i · D0, e il debito D0 non viene mai ridotto durante la vita del prestito: resta invariato fino all’ultimo periodo, quindi anche gli interessi restano sempre gli stessi.
Domanda: Qual è la differenza principale tra ammortamento francese e ammortamento americano?
Risposta: Nel francese il debito residuo diminuisce gradualmente a ogni rata, mentre nell’americano il debito resta uguale a D0 fino alla fine e viene estinto in un’unica soluzione grazie a un fondo separato che accumula le quote Q con i relativi interessi.
Domanda: Il tasso sul prestito e il tasso sul fondo devono essere uguali?
Risposta: No, anzi, di solito sono diversi. Il tasso i è quello richiesto dalla banca sul debito, mentre i′ è il tasso che il fondo genera sulle somme versate; negli esercizi vanno sempre trattati come due tassi distinti.
Domanda: Come si calcola la quota Q da versare nel fondo?
Risposta: Si usa la formula Q = D0 · i′ / [(1 + i′)^n − 1], che deriva dall’uguagliare il valore futuro delle quote Q versate periodicamente al debito iniziale D0.
Domanda: Cosa succede se il tasso è espresso come nominale convertibile?
Risposta: Bisogna prima trasformarlo nel tasso periodale corrispondente (dividendo per il numero di periodi di conversione) e poi convertirlo nel tasso annuo effettivo, prima di utilizzarlo nelle formule dell’ammortamento americano.
Come usare questa guida per preparare l’esame
Per sfruttare al meglio questa guida in vista dell’esame, conviene seguire un percorso in tre fasi.
Fissa bene la logica teorica
Prima di tutto assicurati di saper spiegare:
perché nell’ammortamento americano la quota interessi è sempre costante;
a cosa serve il fondo e perché la somma delle quote Q, con gli interessi, deve arrivare a D0;
qual è la differenza concettuale rispetto all’ammortamento francese.
E' utile ricordare lo schema “banca–debitore–fondo”.
Memorizza le formule chiave e l’ordine dei passaggi
Per gli esercizi standard, è utile seguire questo schema fisso:
calcolare (o convertire) il tasso i sul prestito, se necessario passando da tasso nominale a tasso periodale e poi a tasso annuo effettivo;
calcolare la quota interessi I = i · D0;
calcolare (o convertire) il tasso i′ sul fondo, con lo stesso procedimento se necessario;
calcolare la quota fondo Q = D0 · i′ / [(1 + i′)^n − 1];
calcolare la rata totale R = I + Q.
Allenati anche sui casi “al contrario”
Alcuni esercizi non richiedono di trovare Q o R, ma di risalire al tasso di interesse sul fondo i′ conoscendo la rata, il debito e il numero di periodi. In questi casi:
si ricava prima Q sottraendo la quota interessi dalla rata (Q = R − I);
si imposta l’equazione D0 = Q · [(1 + i′)^n − 1] / i′;
si risolve rispetto a i′.
Guarda il video sull'ammortamento americano
Nel video dedicato all’ammortamento americano trovi:
il confronto teorico con l’ammortamento francese, per capire in cosa i due metodi si somigliano e in cosa sono completamente diversi;
la spiegazione della struttura della rata R = I + Q, con la logica del "metodo del fondo";
la formula per calcolare la quota interessi I e la quota da versare nel fondo Q.
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