Rendite perpetue: guida completa con teoria ed esempi
- Francesca Palmieri
- 5 ago
- Tempo di lettura: 11 min
In questo articolo vediamo le rendite perpetue, cioè quelle rendite in cui le rate non hanno una scadenza temporale, ma continuano all’infinito.
È un argomento collegato alle rendite “finite”, ma con una particolarità importante: in questo caso, il numero di rate è infinito.
Vedremo: la definizione di rendita perpetua, la formula del valore attuale, perché il valore futuro “finale” non ha senso, le diverse tipologie (anticipata, posticipata, immediata, differita), un esempio numerico completo e i punti in cui si commettono più errori durante gli esercizi.
Indice:
Ripasso veloce sulle rendite
Prima di entrare nelle rendite perpetue, è utile ripassare il concetto di rendite finite.
Una rendita è una serie di rate costanti, con lo stesso importo e la stessa distanza temporale tra una rata e l’altra, per un numero finito di periodi.
Nelle rendite finite, le due formule principali sono:
il valore attuale, calcolato al periodo immediatamente precedente alla prima rata;
il valore futuro, calcolato al periodo dell’ultima rata.
In particolare:
il valore attuale concentra “indietro” tutte le rate in un unico importo oggi;
il valore futuro concentra “avanti” tutte le rate alla data dell’ultimo pagamento.
Con le rendite perpetue si utilizza la stessa logica di base, ma considerando che il numero delle rate tende a infinito.
Che cos’è una rendita perpetua
Una rendita perpetua (in inglese perpetuity) è una serie di rate costanti, con lo stesso intervallo di tempo tra una rata e l’altra, che si susseguono per un numero infinito di periodi.
La differenza principale rispetto a una rendita finita è che non esiste un periodo in cui la rendita termina. I pagamenti continuano all'infinito.
Come si calcola il valore attuale di una rendita perpetua
La formula del valore attuale di una rendita perpetua è molto più semplice di quella di una rendita normale:
VA = R / i
dove:
R è la rata costante;
i è il tasso di interesse, coerente con la periodicità della rata (se la rata è annuale, il tasso deve essere annuale; se è trimestrale, il tasso deve essere trimestrale).
Un punto fondamentale da ricordare è dove si colloca, nel tempo, questo valore attuale: la formula calcola il valore della rendita un periodo prima del primo pagamento.
Questo significa che se la prima rata viene pagata nel periodo 1, il valore attuale calcolato con questa formula si trova nel periodo 0.
Questa formula si applica solo se la rata è costante (non crescente).
Nella definizione più ampia infatti, una rendita perpetua è "una serie di rate costanti o crescenti, con lo stesso arco di tempo tra le rate, per infiniti periodi".
Con rate crescenti la formula cambia, ma in questa guida ci concentriamo sul caso con rate costanti, che è il più frequente negli esercizi.
Perché non esiste il valore futuro di una rendita perpetua
In una rendita finita, il valore futuro si calcola nel periodo dell’ultimo pagamento.
In una rendita perpetua, però, non esiste un ultimo pagamento: i flussi continuano all’infinito, quindi non ha senso parlare di “valore futuro finale”.
Quello che invece si può calcolare è il valore della rendita perpetua a un certo periodo futuro (per esempio al periodo 5), sapendo che quel periodo non è l’ultimo, perché la rendita continuerà anche dopo.
Per farlo, si utilizza questo procedimento:
si calcola il valore attuale VA = R / i, che rappresenta già la somma di tutti i pagamenti futuri;
si capitalizza questo valore attuale fino al periodo desiderato, usando la normale formula della capitalizzazione.
In pratica, invece di spostare avanti (o indietro) ogni singola rata infinita, si sposta in avanti un solo numero: il valore attuale, che le contiene già tutte.
Rendita perpetua anticipata e posticipata
Come per le rendite finite, anche le rendite perpetue possono essere anticipate o posticipate, in base al momento in cui avviene il pagamento all’interno del periodo.
Rendita perpetua posticipata: il pagamento avviene alla fine del periodo.
Se il primo pagamento è alla fine del periodo 1, allora il valore attuale calcolato con VA = R / i si colloca esattamente nel periodo 0.
Rendita perpetua anticipata: il pagamento avviene all’inizio del periodo.
Se il primo pagamento è all’inizio del periodo 1, quel pagamento si trova temporalmente nel periodo 0.
Applicando la formula VA = R / i, il valore attuale si colloca un periodo prima del primo pagamento, quindi nel periodo -1.
Questa distinzione è molto importante quando l’esercizio chiede il valore della rendita perpetua in un punto preciso del tempo (per esempio nel periodo 0):
nella rendita perpetua posticipata, il valore trovato con la formula corrisponde già al periodo richiesto;
nella rendita perpetua anticipata, bisogna partire dal valore trovato con la formula (che si trova nel periodo -1) e capitalizzarlo di un periodo, per portarlo nel periodo 0.
Rendita perpetua immediata e differita
Un’altra distinzione riguarda il momento in cui inizia la rendita, indipendentemente dal fatto che sia anticipata o posticipata.
Rendita perpetua immediata: il primo pagamento avviene nel periodo 1 (il primo periodo disponibile).
Rendita perpetua differita: il primo pagamento avviene in un periodo successivo, per esempio al periodo 4 se la rendita è differita di 3 periodi.
Nel caso della rendita perpetua immediata e posticipata, applicando la formula del valore attuale VA = R / i , si ottiene direttamente il valore attuale nel periodo 0, perché il primo pagamento è nel periodo 1.
Nel caso della rendita perpetua differita, invece, la formula del valore attuale VA = R / i, restituisce il valore un periodo prima del primo pagamento effettivo.
Per esempio, se il primo pagamento è al periodo 4, il valore attuale calcolato con la formula si trova al periodo 3. Per portarlo al periodo 0, bisogna attualizzarlo per il numero di periodi corrispondente, usando la formula:
X = VA × [1 / (1 + i)^n]
dove n è il numero di periodi che separano il punto in cui si trova il valore attuale (nell’esempio, il periodo 3) dal periodo 0.
Esempio numerico completo
Vediamo un esempio numerico completo, con due parti: un caso semplice e un caso più articolato che unisce rendita normale e rendita perpetua.
Parte 1 – Valore attuale e valore a un periodo futuro
Un investimento rende 1.000 euro all’anno, in perpetuo, a un tasso del 4% annuo.
Punto a: Qual è il valore attuale dell’investimento?
VA = R / i= 1.000 / 0,04 = 25.000€
Il valore attuale dell’investimento è quindi 25.000 euro, collocato nel periodo 0 (un periodo prima del primo pagamento, che avviene al periodo 1).
Punto b: Qual è il valore dell’investimento dopo 5 anni?
Per ottenere un valore futuro al quinto anno, il valore attuale già calcolato (25.000€), che rappresenta la somma di tutti i pagamenti futuri, dev'essere capitalizzato per 5 periodi al tasso del 4%:
VF5 = 25.000 × (1 + 0,04)^5= 25.000 × 1,2167 ≈ 30.416,32€
Il valore dell’investimento al quinto anno è quindi circa 30.416,32 euro. Da notare che questo non è un “valore futuro finale”, perché la rendita continua anche dopo il quinto anno.
Parte 2 – Trovare la rata di una rendita perpetua equivalente a una rendita non perpetua
Considera la seguente rendita non perpetua, con pagamenti annuali dal periodo 1 al periodo 10:
periodi 1, 2: rata di 200 €
periodi 3, 4, 5: rata di 300 €
periodi 6, 7, 8, 9, 10: rata di 200 €
A partire dalla fine del decimo anno (quindi dal periodo 11 in poi) inizia una rendita perpetua posticipata con rata costante R, al tasso annuo del 5%.
Assumendo che la rendita non perpetua e la perpetuità abbiano lo stesso valore attuale, calcolare R della rendita perpetua.
Svolgimento
Rendita non perpetua
Rendita perpetua
Passo 1: calcolare il valore attuale della rendita non perpetua
Per semplificare i calcoli, è utile scomporre la rendita in due parti:
una rendita X di 200 € per tutti i 10 periodi;
una rendita Y aggiuntiva di 100 € solo nei periodi 3, 4 e 5 (in quanto 200 + 100 = 300 in quei tre periodi).
Valore attuale della rendita X (200 € per 10 periodi al 5%):
VAX = 200 × [1 − (1 + 0,05)^(−10)] / 0,05= VAX ≈ 1.544,35 €
Valore attuale della rendita Y (100 per 3 periodi, dal periodo 3 al periodo 5):
Poichè il primo pagamento della rendita è al periodo 3, la formula del valore attuale la colloca un periodo prima, cioè al periodo 2, quindi poi si attualizza il risultato di 2 periodi per riportarlo al periodo 0:
VAY (al periodo 2) = 100 × [1 − (1,05)^(−3)] / 0,05 ≈ 272,32€
VAY (al periodo 0) = 272,32 × [1 / (1,05)^2] ≈ 246,97€
Valore attuale totale della rendita non perpetua:
VA totale = VAX + VAY = 1.544,35 + 246,97 = 1.791,32€
Passo 2: impostare l’equazione per la rendita perpetua
A questo punto, il valore attuale della rendita perpetua (al periodo 0) deve essere uguale a 1.791,32€.
La rendita perpetua inizia dal periodo 11, quindi la formula VA = R / i restituisce il valore al periodo 10 (un periodo prima del primo pagamento, che è all’undicesimo periodo).
Per portare questo valore al periodo 0, bisogna attualizzarlo di 10 periodi:
VA (periodo 0) = (R / 0,05) × [1 / (1 + 0,05)^10]
Passo 3: risolvere per R
Dopo aver impostato l’uguaglianza:
1.791,32 = (R / 0,05) × [1 / (1 + 0,05)^10]
Isolando R:
R = 1.791,32 × 0,05 × (1 + 0,05)^10= R ≈ 145,89€
La rata della rendita perpetua che rende equivalenti le due rendite (stesso valore attuale al periodo 0) è quindi di circa 145,89€.
Errori tipici sulle rendite perpetue
Ci sono alcuni errori che si ripetono spesso quando si affronta questo argomento per la prima volta.
Dimenticare la coerenza tra rata e tasso di interesse
Se la rata è annuale, il tasso di interesse usato nella formula VA = R / i deve essere annuale.
Se la rata è trimestrale, serve un tasso trimestrale.
Mischiare periodicità diverse porta a un risultato completamente sbagliato.
Confondere il punto temporale del valore attuale
La formula VA = R / i restituisce il valore un periodo prima del primo pagamento, non necessariamente nel periodo 0.
Questo è vero soprattutto nelle rendite differite o anticipate, dove il primo pagamento non è nel periodo 1.
Provare a calcolare un valore futuro “finale”
Non esiste un valore futuro di una rendita perpetua nel senso classico, perché non c’è un ultimo pagamento. Se serve il valore a un certo periodo futuro, bisogna capitalizzare il valore attuale fino a quel periodo, non provare a sommare o proiettare le rate una per una.
Confondere anticipata/posticipata con immediata/differita
Sono due classificazioni diverse e indipendenti tra loro.
Anticipata/posticipata riguarda il momento del pagamento dentro il periodo (inizio o fine); immediata/differita riguarda da quale periodo iniziano i pagamenti (dal periodo 1 oppure più avanti).
Non attualizzare correttamente le rendite differite
Quando la rendita perpetua (o anche una mini-rendita interna a un esercizio più complesso) non inizia dal periodo 1, il valore trovato con la formula standard va sempre riportato al periodo richiesto (spesso il periodo 0) tramite un’attualizzazione, cioè moltiplicando per 1 / (1 + i)^n.
Domande frequenti
Domanda: Che cos’è una rendita perpetua?
Risposta: È una serie di rate costanti che si susseguono con lo stesso intervallo di tempo per un numero infinito di periodi, senza una data di scadenza.
Domanda: Qual è la formula del valore attuale di una rendita perpetua?
Risposta: VA = R / i, dove R è la rata costante e i è il tasso di interesse coerente con la periodicità della rata.
Domanda: In quale periodo si colloca il valore attuale calcolato con la formula?
Risposta: Si colloca sempre un periodo prima del primo pagamento della rendita.
Domanda: Perché non si può calcolare il valore futuro di una rendita perpetua?
Risposta: Perché il valore futuro si calcolerebbe nel periodo dell’ultimo pagamento, ma in una rendita perpetua non esiste un ultimo pagamento, dato che i flussi continuano all’infinito.
Domanda: Come si trova il valore di una rendita perpetua a un periodo futuro specifico? Risposta: Si calcola il valore attuale con la formula VA = R / i e poi si capitalizza questo valore per il numero di periodi desiderato, usando la capitalizzazione composta.
Domanda: Qual è la differenza tra rendita perpetua anticipata e posticipata?
Risposta: Nella posticipata il pagamento avviene alla fine del periodo, e la formula VA = R / i restituisce il valore al periodo 0 se il primo pagamento è al periodo 1.
Nell’anticipata il pagamento avviene all’inizio del periodo, quindi il valore trovato con la formula si colloca un periodo prima, cioè al periodo -1.
Domanda: Qual è la differenza tra rendita perpetua immediata e differita?
Risposta: Nell’immediata il primo pagamento è al periodo 1; nella differita il primo pagamento avviene più avanti nel tempo, per esempio al periodo 4 se la rendita è differita di 3 periodi.
Per usare bene questa guida in vista dell’esame, conviene procedere per step, senza saltare la parte concettuale.
Fissa la definizione e la formula base
Assicurati di saper spiegare, con parole tue:
- cos’è una rendita perpetua e in cosa differisce da una rendita normale;
- perché la formula VA = R / i funziona e in che periodo si colloca il risultato;
- perché non esiste un valore futuro “finale” per una rendita perpetua.
Allenati a riconoscere il tipo di rendita perpetua
Prima di qualsiasi calcolo, è utile chiedersi:
- è anticipata o posticipata? (il pagamento è all’inizio o alla fine del periodo?)
- è immediata o differita? (il primo pagamento è al periodo 1 o più avanti?)
Da queste due risposte dipende in quale periodo si colloca il valore attuale calcolato con la formula, e quindi se serve un’ulteriore capitalizzazione o attualizzazione per arrivare al periodo richiesto dall’esercizio.
Fai un disegno della linea del tempo
Anche se sembra un passaggio “in più”, disegnare la linea del tempo con i periodi e i pagamenti aiuta moltissimo a capire dove si trova il valore attuale rispetto al periodo richiesto dal testo dell’esercizio. È il modo più sicuro per evitare errori di collocazione temporale.
Esercitati con casi misti (rendita finita + rendita perpetua)
Come nell’esempio numerico di questa guida, molti esercizi combinano una rendita normale (con un numero finito di rate, magari con importi diversi) con una rendita perpetua che parte da un certo periodo in avanti. Allenati a:
- scomporre rendite con flussi irregolari in più rendite più semplici;
- calcolare il valore attuale di ciascuna parte;
- sommare i risultati per ottenere il valore attuale complessivo;
- effettuare collegamenti con la rendita perpetua per trovare l’incognita richiesta (spesso la rata R).
Guarda il video
Nel video dedicato alle rendite perpetue trovi:
definizione di rendita perpetua e anticipata, posticipata, immediata e differita;
confronto con le rendite normali o finite;
spiegazione della formula del valore attuale VA = R / i.
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