Rendite: guida completa con teoria ed esempi
- Francesca Palmieri
- 29 lug
- Tempo di lettura: 11 min
In questa guida vediamo le rendite ossia pagamenti periodici riferiti a: rate, canoni, contributi.
Vedremo passo passo:
la definizione di rendita e quando una sequenza di pagamenti può essere trattata come tale;
come si calcolano il valore attuale e il valore futuro usando le formule compatte invece di applicarle rata per rata;
come si riconoscono e gestiscono i diversi tipi di rendita (immediate, differite, anticipate, posticipate) e i casi in cui le rate non sono tutte uguali.
Indice:
Che cos'è una rendita
Una rendita è una serie di rate di importo costante, separate dallo stesso arco di tempo, per un numero (n) finito di periodi.
Ci sono quindi tre condizioni che devono essere tutte rispettate:
la rata deve essere sempre dello stesso importo;
il tempo tra una rata e l'altra deve essere sempre lo stesso;
il numero di periodi n deve essere finito (se fosse infinito si parlerebbe di rendita perpetua, che è un caso diverso).
Esempio rapido:
La sequenza 50 – 50 – 50 è una rendita: stessa rata, stesso intervallo di tempo, numero di periodi finito.
La sequenza 50 – 60 – 50 non è una rendita: la seconda rata è diversa dalle altre, quindi l'importo non è costante.
La sequenza 50 – 0 – 50 non è una rendita: c'è una rata mancante nel mezzo, quindi l'arco di tempo tra i pagamenti non è uniforme.
Quando c'è una serie di flussi che non soddisfano questi requisiti, non si possono applicare le formule delle rendite direttamente. Bisogna scomporre i flussi in due o più rendite separate. Lo vedremo più avanti nell'esempio numerico completo.
Valore attuale e valore futuro di una rendita
Quando si analizzano le rendite, le due grandezze principali da calcolare sono:
il valore attuale: quanto valgono oggi tutte le rate future, attualizzate al momento precedente il primo pagamento;
il valore futuro: quanto valgono tutte le rate al momento dell'ultimo pagamento.
Entrambi si calcolano con formule compatte, che evitano di dover attualizzare o capitalizzare ogni singola rata separatamente.
Valore attuale di una rendita
La formula del valore attuale di una rendita è:
VA = R · [(1 – (1 + i)^(-n)) / i]
dove:
R è la rata (importo fisso di ogni pagamento);
i è il tasso di interesse per periodo;
n è il numero di rate.
Attenzione: questa formula restituisce il valore della rendita un periodo prima del primo pagamento.
Se la prima rata è al periodo 1, la formula restituisce il valore in 0.
Se la prima rata è al periodo 2, la formula restituisce il valore in 1, non in 0. In quel caso, per trovare il valore in 0, bisogna attualizzare ulteriormente di un periodo.
Valore futuro di una rendita
La formula del valore futuro di una rendita è:
VF = R · [((1 + i)^n – 1) / i]
Attenzione: questa formula restituisce il valore della rendita al periodo dell'ultimo pagamento.
Se l'ultima rata è al periodo 8, la formula restituisce il valore in 8.
Se si desidera conoscere il valore in un periodo diverso, bisogna poi capitalizzare o attualizzare a partire da quel valore.
Un punto da ricordare sempre: tasso di interesse e numero di periodi devono essere coerenti tra loro.
Se le rate sono annuali, il tasso deve essere annuale. Se le rate sono trimestrali, il tasso deve essere trimestrale.
Se le scale temporali sono diverse, bisogna prima convertire il tasso alla stessa frequenza delle rate con la formula dei tassi equivalenti.
Esempio rapido: Un risparmiatore versa 100 euro ogni anno in un conto di risparmio ad un tasso di interesse annuo del 5%, per un totale di 8 anni. Il primo versamento avviene alla fine del primo anno.
Calcolare:
a) il valore attuale di tutti i versamenti;
b) il valore di tutti i versamenti immediatamente dopo l'ultimo deposito;
Dati
R = 100€
i = 0,05
n = 8
Suggerimento prima dello svolgimento: identificare il tipo di rendita e disegnare la linea del tempo
In questo caso, la rendita è immediata posticipata (prima rata al periodo 1, ultima al periodo 8).
Punto a: valore attuale in 0
La prima rata è in 1, quindi il valore attuale (un periodo prima del primo pagamento) è in 0. La formula si applica direttamente.
VA = 100 · [(1 – (1,05)^(-8)) / 0,05]= 646,32€
Punto b: valore futuro in 8
VF = 100 · [((1,05)^8 – 1) / 0,05]= 954,91€
I tipi di rendita: anticipata, posticipata, immediata, differita
Una rendita si classifica lungo due dimensioni indipendenti:
quando viene pagata ogni rata: anticipata o posticipata;
quando inizia la rendita: immediata o differita.
Questi due aspetti possono combinarsi tra loro, quindi è possibile avere ad esempio una rendita immediata posticipata, oppure una differita anticipata, ecc.
Rendita posticipata e rendita anticipata
Una rendita è posticipata quando il pagamento avviene alla fine di ciascun periodo. È il caso più comune e il più semplice: ad esempio, la prima rata cade alla fine del primo anno, la seconda alla fine del secondo e così via.
Una rendita è anticipata quando il pagamento avviene all'inizio di ciascun periodo. In questo caso la prima rata cade all'inizio del primo periodo, cioè un anno prima rispetto alla rendita posticipata con le stesse caratteristiche.
Ad esempio, per una rendita anticipata di 3 rate che parte dall'anno 1:
le rate cadono in 0, 1 e 2;
applicando la formula del valore attuale di una rendita, si ottiene il valore in -1 (un periodo prima del primo pagamento, che è in 0);
se si cerca il valore in 0, si deve capitalizzare di un periodo il valore attuale trovato con la formula.
Se invece la rendita è posticipata con le stesse caratteristiche:
le rate cadono in 1, 2 e 3;
applicando la formula del valore attuale di una rendita, si ottiene direttamente il valore in 0;
Rendita immediata e rendita differita
Una rendita è immediata quando inizia dal periodo 1 (cioè il primo pagamento avviene alla fine o all'inizio del periodo 1, a seconda che sia posticipata o anticipata).
Una rendita è differita di k periodi quando i pagamenti iniziano solo dopo k periodi di attesa.
Se, per esempio, la rendita è differita di 3 periodi e posticipata, il primo pagamento avviene alla fine del periodo 4.
In questo caso, applicando la formula del valore attuale, si ottiene il valore in 3 (un periodo prima del primo pagamento in 4). Per trovare il valore in 0, bisogna poi attualizzare quel risultato di 3 periodi.
Regola pratica da ricordare sempre: disegna la linea del tempo. Segna dove cadono le rate, poi identifica dove cade il valore attuale calcolato dalla formula. Se non coincide con il periodo che ti chiede il testo, capitalizza o attualizza per arrivare al periodo giusto.
Esempio numerico completo
Traccia: Un risparmiatore effettua una serie di versamenti in un conto con tasso di interesse annuo del 4%. I flussi di cassa nei periodi da 1 a 6 sono, rispettivamente: 100, 200, 100, 200, 100 e 200 euro.
Calcolare il valore attuale totale di tutti i flussi di cassa.
Suggerimento prima dello svolgimento: identificare il tipo di rendita e disegnare la linea del tempo
In questo caso, la serie di rate si alterna tra 100 e 200, quindi non è una rendita a rata costante.
Bisogna scomporre la rendita in due (o più) rendite più semplici, calcolare il valore attuale di ciascuna e poi sommare.
Poiché il primo flusso di cassa si manifesta alla fine del periodo 1 (e non al periodo 0), la rendita scomposta sarà immediata posticipata.
Scomposizione
Bisogna scomporre la rendita originaria nella somma di due rendite:
Rendita 1: rata 100, ogni anno, per 6 anni (periodi 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6);
Rendita 2: rata 100, ogni 2 anni, per 3 bienni (periodi 2 – 4 – 6).
In questo modo:
periodo 1: 100 + 0 = 100 euro
periodo 2: 100 + 100 = 200 euro
periodo 3: 100 + 0 = 100 euro
periodo 4: 100 + 100 = 200 euro
periodo 5: 100 + 0 = 100 euro
periodo 6: 100 + 100 = 200 euro
La somma coincide con la rendita originaria.
La scomposizione proposta non è l'unica possibile. Esistono infatti altri metodi alternativi, ad esempio: una rendita di 100 nei periodi 1, 3 e 5, e una rendita di 200 nei periodi 2, 4 e 6, entrambe da attualizzare con un tasso di interesse biennale equivalente al 4% annuo.
Valore attuale della Rendita 1
R = 100
i = 0,04
n = 6 (rate annuali, tasso annuale: coerenti)
Il primo pagamento è in 1, quindi il valore attuale con la formula vista in precedenza è in 0.
VA1 = 100 · [(1 – (1,04)^(-6)) / 0,04] = 524,21€
Valore attuale della Rendita 2
R = 100
i = 0,04
n = 3 (rate biennali), ma il tasso è annuale: bisogna convertirlo in biennale con la formula dei tassi equivalenti.
Tasso i biennale: (1,04)^2 – 1 = 1,0816 – 1 = 0,0816
Per questa rendita, il periodo tra una rata e l'altra è biennale, quindi un periodo prima del tempo 2 (prima rata) è il tempo 0, non l’anno 1: tra 0 e 2 passa proprio 1 “periodo biennale”.
VA2 = 100 · [(1 – (1,0816)^(-3)) / 0,0816] = 256,97€
Valore attuale totale
VA totale = VA1 + VA2 = 524,21 + 256,97 = 781,18€
Errori tipici sulle rendite
Ci sono alcuni errori che si ripetono spesso e che, una volta conosciuti, si evitano facilmente.
Non disegnare la linea del tempo
È l'errore più costoso in assoluto. Senza la linea del tempo non è possibile individuare con precisione la posizione delle rate, comprendere in quale periodo si colloca il valore attuale fornito dalla formula e, di conseguenza, si rischia di sbagliare il periodo di riferimento di tutto l'esercizio.
Confondere il "periodo precedente al primo pagamento" con il periodo 0
La formula del valore attuale conduce a un periodo prima del primo pagamento. Se la prima rata è al periodo 1, il valore attuale è in 0. Ma se la prima rata è al periodo 4, il valore attuale è in 3. Il periodo 0 e il "periodo precedente" non coincidono sempre.
Usare tasso e periodi non coerenti
Se la rendita ha rate biennali, occorre usare un tasso biennale.
Se le rate sono mensili, il tasso deve essere mensile.
Non si può mai applicare la formula del valore attuale o futuro di una rendita con un tasso annuale e un n (numero di rate) riferito a bienni o semestri.
In questi casi bisogna prima convertire il tasso con la formula dei tassi equivalenti.
Trattare come rendita una sequenza con rate diverse o periodi irregolari
Quando le rate cambiano di importo o i periodi non sono uniformi, la formula del valore attuale o futuro di una rendita non si applica direttamente. Bisogna scomporre in più rendite, calcolare i valori attuali separatamente e sommare. Vedere immediatamente che una serie non è una rendita unica è un'abilità che si sviluppa con la pratica.
Dimenticare di riportare il valore attuale al periodo richiesto
Capita di calcolare correttamente il valore attuale con la formula ma poi non "spostarlo" al periodo che chiede l'esercizio.
Se il testo vuole il valore in 0 ma il valore attuale calcolato è in 3 (perché la rendita era differita di 3 periodi), bisogna attualizzare di 3 periodi.
Domande frequenti
Domanda: Che cos'è una rendita?
Risposta: È una serie di rate di importo costante, separate dallo stesso arco di tempo, per un numero finito di periodi. Tutte e tre queste condizioni devono essere rispettate simultaneamente.
Domanda: Qual è la differenza tra valore attuale e valore futuro di una rendita?
Risposta: Il valore attuale è il valore della rendita un periodo prima del primo pagamento. Il valore futuro è il valore della rendita al periodo dell'ultimo pagamento.
Domanda: Che differenza c'è tra rendita anticipata e rendita posticipata?
Risposta: Nella rendita posticipata ogni rata viene pagata alla fine del periodo.
Nella rendita anticipata ogni rata viene pagata all'inizio del periodo. Questo sposta avanti di un periodo tutte le rate rispetto alla versione posticipata.
Domanda: Che differenza c'è tra rendita immediata e rendita differita?
Risposta: Una rendita immediata inizia dal periodo 1.
Una rendita differita di k periodi inizia solo dopo k periodi di attesa, quindi il primo pagamento avviene al periodo k+1 (se posticipata) o al periodo k (se anticipata).
Domanda: Come ci si comporta se le rate non sono tutte uguali?
Risposta: Non si possono applicare direttamente le formule delle rendite. Bisogna scomporre la sequenza originaria in due o più rendite con rate costanti, calcolare il valore attuale di ciascuna separatamente e poi sommare i risultati.
Domanda: Come si converte il tasso di interesse quando i periodi non sono annuali?Risposta: Si usa la formula dei tassi equivalenti in capitalizzazione composta.
Come usare questa guida per preparare l'esame
Per sfruttare davvero questa guida in ottica esame, il consiglio è di procedere per step.
Fissa la definizione di rendita
Prima di tutto è fondamentale saper riconoscere a colpo d'occhio se una sequenza di flussi è una rendita oppure no. Stessa rata, stesso intervallo, numero finito di periodi. Se manca anche solo uno di questi tre requisiti, non è una rendita unica.
Memorizza le due formule e il loro significato
Non basta sapere le formule a memoria ma conoscere dove portano:
- la formula del VA restituisce il valore un periodo prima del primo pagamento;
- la formula del VF restituisce il valore al periodo dell'ultimo pagamento.
Questi due dettagli sono fondamentali per capire se il risultato che si ottiene è già quello che chiede il testo oppure se bisogna ancora capitalizzare o attualizzare.
Allena la classificazione dei tipi di rendita
Prima di calcolare qualsiasi cosa, è utile rispondere a tre domande:
- la rendita è posticipata o anticipata?
- è immediata o differita? Se differita, di quanti periodi?
- dove cade il valore attuale calcolato con la formula? Coincide con il periodo 0 che chiede il testo?
Se si sa rispondere a queste tre domande, l'esercizio è già per metà risolto.
Esercitati sulle scomposizioni
Le scomposizioni di rendite sono tra i punti più difficili dell'argomento. E' consigliabile svolgere almeno 3–4 esercizi in cui le rate non sono uniformi e allenare l'occhio a vedere come scomporre la sequenza in due rendite più semplici.
Con la pratica diventa quasi automatico.
Controlla sempre la coerenza tra tasso e periodo
Prima di ogni calcolo bisogna chiedersi se il tasso che si sta usando è coerente con la scala temporale delle rate? Se le rate sono biennali e il tasso è annuale, bisogna prima convertire. Questo controllo rapido evita errori grossolani.
Collega questo argomento ai capitoli precedenti
Le formule delle rendite si basano sulla capitalizzazione composta, quindi se si studia bene quella parte, le rendite diventano molto più intuitive. Allo stesso modo, le rendite sono la base dei piani di ammortamento che vedremo successivamente: capire bene questo capitolo significa affrontare l'ammortamento da una posizione molto più solida.
Guarda il video sulle rendite
Nel video dedicato alle rendite trovi:
la definizione di rendita;
la spiegazione delle formule di valore attuale e valore futuro di una rendita;
la classificazione completa dei tipi di rendita: anticipata, posticipata, immediata, differita.
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