Duration: guida completa con teoria ed esempi
In questo articolo vediamo la duration, uno strumento fondamentale per misurare il rischio delle obbligazioni.
La duration indica quanto è sensibile il prezzo di un'obbligazione ai cambiamenti del tasso di interesse di mercato.
Un concetto chiave è il seguente: se un'obbligazione viene mantenuta fino a scadenza, non si ha rischio, perché prezzo di acquisto, cedole e valore di rimborso sono noti in anticipo.
Il rischio si presenta invece nel caso di rivendita dell'obbligazione prima della scadenza, poiché in quel momento il prezzo dipende dal tasso di interesse di mercato in vigore in quel periodo, che può differire da quello originario.
In questa guida vediamo cos’è la duration di Macaulay, come si calcola, perché maggiore maturity e minori cedole aumentano il rischio, cos’è la duration modificata, un esempio numerico completo e due casi particolari molto utili per gli esami: la duration di uno zero coupon bond e quella di una rendita perpetua.
Indice:
Da dove nasce il rischio di un’obbligazione
Un'obbligazione è un titolo di debito emesso da un'impresa o da un ente pubblico, che si impegna a corrispondere periodicamente all'investitore un flusso di cedole (i pagamenti periodici calcolati applicando il tasso cedolare al valore nominale) e a rimborsare, alla scadenza, il valore nominale del titolo (l'importo di capitale restituito all'investitore a fine vita dell'obbligazione).
Il rischio di un'obbligazione è legato alla volatilità, definita come la probabilità di ottenere un rendimento diverso da quello atteso.
Se l'obbligazione viene mantenuta fino a scadenza, il rendimento è certo, poiché sono note in anticipo le cedole, il valore nominale e il prezzo pagato.
Il rischio si presenta nel caso in cui l'obbligazione venga rivenduta prima della scadenza.
In quel momento è necessario ricalcolare il prezzo dell'obbligazione attualizzando i flussi residui, ma il tasso di interesse di mercato può essere cambiato rispetto a quello in vigore al momento dell'emissione.
Se il tasso è sceso, il prezzo di vendita aumenta (e il rendimento realizzato aumenta); se il tasso è salito, il prezzo di vendita diminuisce (e il rendimento realizzato diminuisce).
Da questo meccanismo derivano due regole empiriche fondamentali:
maggiore è la maturity (scadenza) dell'obbligazione, maggiore è il rischio, cioè la volatilità del rendimento in caso di rivendita anticipata.
Con una scadenza più lunga i flussi di cassa residui da attualizzare sono più numerosi e più lontani nel tempo: una variazione del tasso di interesse ha quindi un effetto di attualizzazione più marcato su ciascuno di essi, amplificando l'impatto complessivo sul prezzo di rivendita.
minori sono le cedole (coupon), maggiore è il rischio.
Questo accade perché, con cedole basse (o nulle, come nel caso dello zero coupon bond), l'investitore recupera una quota minore del capitale investito tramite i flussi intermedi, mentre la maggior parte (o la totalità) del valore dell'obbligazione è concentrata nel flusso finale a scadenza.
Poiché quel flusso finale, essendo più lontano nel tempo pesa proporzionalmente di più sul prezzo complessivo, il prezzo dell'obbligazione risulta di conseguenza più sensibile alle variazioni del tasso di mercato.
Di conseguenza, un'obbligazione con scadenza lunga e cedole basse (o nulle, come nel caso di uno zero coupon bond) risulta più sensibile alle variazioni del tasso di interesse rispetto a un'obbligazione con scadenza breve e cedole elevate.
Che cos’è la duration di Macaulay
La duration (o duration di Macaulay, anche chiamata durata media finanziaria) è l’indicatore standard per misurare il rischio di un'obbligazione.
In modo intuitivo, la duration indica la data "media" entro la quale l'investitore recupera il capitale investito, pesando ciascun flusso di cassa dell'obbligazione per il momento in cui viene incassato.
Più alta è la duration, più alta è la volatilità del prezzo dell’obbligazione al variare del tasso di interesse, quindi più alto è il rischio.
La formula generale è:
Duration = [Σ (t · Flusso t) / (1 + r)^t] / Prezzo dell’obbligazione
dove:
t indica il periodo (1, 2, 3…);
Flusso t è il flusso di cassa ricevuto nel periodo t (cedola, oppure cedola più valore nominale nell’ultimo periodo);
r è il tasso di interesse di mercato (o tasso di rendimento);
il denominatore è semplicemente il prezzo dell’obbligazione, cioè la somma di tutti i flussi attualizzati.
In pratica, per calcolare la duration si pesa ogni flusso attualizzato per il periodo in cui viene incassato (moltiplicando per 1, per 2, per 3…), e si divide tutto per il prezzo.
Come si calcola la duration – schema pratico
Per calcolare la duration conviene seguire uno schema fisso, in tre passaggi.
Calcola il prezzo dell’obbligazione
Attualizza tutti i flussi di cassa (cedole e valore nominale finale) al tasso di interesse di mercato, e somma i risultati.
Questo valore è il denominatore della formula della duration.
Pesa ogni flusso per il proprio periodo
Prendi ogni flusso attualizzato e moltiplicalo per il numero del periodo in cui viene incassato: il flusso del primo anno per 1, quello del secondo anno per 2, e così via.
Somma tutti questi valori: è il numeratore della formula.
Dividi numeratore per denominatore
Il risultato è la duration, espressa in anni (o nell’unità di tempo che stai usando).
Esempio numerico completo
Vediamo un esempio numerico completo, in stile esame.
Traccia
Un'impresa (denominata Alfa) emette un'obbligazione con le seguenti caratteristiche: tasso cedolare annuo del 5%, valore nominale pari a 100€, scadenza a 5 anni e tasso di interesse di mercato del 5%, coincidente con il tasso cedolare.
Si richiede di calcolare il prezzo dell'obbligazione e la relativa duration di Macaulay.
Svolgimento
La cedola annua si calcola come:
Cedola = tasso cedolare × valore nominale = 5% × 100 = 5€
Passo 1 – Calcolo del prezzo dell'obbligazione
Il prezzo è determinato come valore attuale di tutti i flussi di cassa (cedole più valore nominale finale):
Prezzo = 5/(1+0,05)¹ + 5/(1+0,05)² + 5/(1+0,05)³ + 5/(1+0,05)⁴ + 105/(1+0,05)⁵
Poiché l'obbligazione è emessa alla pari (tasso cedolare uguale al tasso di mercato), il prezzo risulta:
Prezzo = 100€
Passo 2 – Calcolo del numeratore della duration
Ogni flusso attualizzato viene ponderato per il proprio periodo:
Periodo 1: [5/(1,05)¹] × 1 = 4,76€
Periodo 2: [5/(1,05)²] × 2 = 9,07€
Periodo 3: [5/(1,05)³] × 3 = 12,96€
Periodo 4: [5/(1,05)⁴] × 4 = 16,45€
Periodo 5: [105/(1,05)⁵] × 5 = 411,35€
Somma totale (numeratore della duration) = 4,76 + 9,07 + 12,96 + 16,45 + 411,35 ≈ 454,60€
Passo 3 – Divisione per il prezzo
Dividendo il numeratore (somma dei flussi ponderati) per il prezzo dell'obbligazione (100), si ottiene:
Duration = 454,60 / 100 ≈ 4,55 anni
Interpretazione del risultato
La duration dell'obbligazione risulta pari a 4,55 anni, un valore inferiore rispetto ai 5 anni di scadenza effettiva.
Questa differenza è dovuta al fatto che parte del valore dell'obbligazione viene recuperato prima della scadenza, tramite le cedole intermedie.
Nel caso di un'obbligazione priva di cedole (zero coupon bond), la duration coinciderebbe esattamente con la scadenza, risultando quindi pari a 5 anni.
La duration modificata
Una volta calcolata la duration di Macaulay, si può ricavare la duration modificata, che serve a stimare direttamente la variazione percentuale del prezzo dell’obbligazione al variare del tasso di interesse.
La formula è:
Duration modificata = Duration / (1 + r)
Invece, la variazione percentuale del prezzo si stima come:
Variazione % del prezzo ≈ – Duration modificata × Variazione del tasso
Il segno negativo indica che prezzo e tasso di interesse si muovono in direzioni opposte: se il tasso sale, il prezzo scende, e viceversa.
Esempio numerico – Duration modificata
Dati:
cedola annuale: 7 euro
yield (tasso di rendimento): 3%
scadenza: 3 anni
valore nominale: 100 euro
Passo 1 – Prezzo dell’obbligazione
Attualizzando i flussi (7, 7, 107) al tasso del 3%, si ottiene un prezzo di:
Prezzo ≈ 111,31€
Passo 2 – Duration di Macaulay
Applicando la formula della duration (pesando ogni flusso per il periodo e dividendo per il prezzo), si ottiene:
Duration ≈ 2,82 anni
Passo 3 – Duration modificata
Duration modificata = Duration / (1 + r) = 2,82 / (1 + 0,03) ≈ 2,74
Passo 4 – Variazione percentuale del prezzo per una variazione in aumento del tasso del 2%
Variazione % del prezzo ≈ – Duration modificata × Variazione del tasso
Variazione % del prezzo ≈ – 2,74 × 0,02 = – 0,0547, cioè circa – 5,47%
Interpretazione:
se il tasso di mercato aumenta del 2% (da 3% a 5%), il prezzo dell’obbligazione scende approssimativamente del 5,47%;
la duration modificata è quindi uno strumento molto pratico per stimare rapidamente l’impatto di piccole variazioni del tasso sul prezzo, senza dover rifare tutti i calcoli di attualizzazione.
Due casi particolari della duration
Ci sono due situazioni speciali molto frequenti negli esercizi, che permettono di calcolare la duration senza passare per tutta la formula.
Caso 1 – Duration di uno zero coupon bond
Se l’obbligazione non paga cedole (zero coupon bond), l’unico flusso è il valore nominale alla scadenza.
In questo caso:
Duration di uno zero coupon bond = vita residua dell’obbligazione
Cioè, se lo zero coupon bond scade in 5 anni, la sua duration è esattamente 5.
Questo succede perché, non essendoci flussi intermedi, tutto il valore viene recuperato solo alla scadenza.
Caso 2 – Duration di una rendita perpetua a cedola costante
Se immaginiamo un’obbligazione con vita infinita (rendita perpetua) che paga sempre la stessa cedola C, la duration è:
Duration della rendita perpetua = (1 + r) / r
Questo valore rappresenta il livello massimo teorico della duration di un’obbligazione, perché nessuna obbligazione reale ha vita infinita.
Quindi, quanto più lunga è la scadenza di un’obbligazione, tanto più la sua duration si avvicina (senza mai raggiungerlo esattamente) al valore della duration della rendita perpetua.
Errori tipici sulla duration
Confondere duration e scadenza (maturity)
La duration non è la scadenza dell’obbligazione, ma una media ponderata dei tempi in cui si ricevono i flussi.
È sempre minore o al massimo uguale alla scadenza (uguale solo nel caso dello zero coupon bond).
Dimenticare di pesare i flussi per il periodo
Un errore comune è calcolare il numeratore della duration come se fosse identico al prezzo, senza moltiplicare ogni flusso attualizzato per il proprio periodo (1, 2, 3…). Senza questa ponderazione, il risultato non è la duration.
Confondere duration e duration modificata
La duration di Macaulay è espressa in anni (o periodi), mentre la duration modificata serve a stimare la variazione percentuale del prezzo al variare del tasso.
Sono concetti collegati, ma non sono la stessa cosa: la modificata si ottiene dividendo la duration per (1 + r).
Sbagliare il segno nella variazione del prezzo
Quando si usa la duration modificata per stimare la variazione percentuale del prezzo, bisogna sempre metterle il segno negativo davanti: se il tasso aumenta, il prezzo diminuisce, e viceversa.
Applicare la scorciatoia dello zero coupon bond a obbligazioni con cedole
La regola “duration = vita residua” vale solo per gli zero coupon bond.
Se l’obbligazione ha cedole, la duration sarà sempre minore della scadenza, perché parte del valore viene recuperato prima della scadenza.
Non collegare maturity, coupon e rischio
Ricorda sempre la logica di fondo: più lontani sono i flussi nel tempo (maturity alta, coupon bassi), più il prezzo dell’obbligazione è sensibile ai cambiamenti del tasso di interesse.
Domande frequenti
Domanda: Che cos’è la duration?
Risposta: È un indicatore che misura la durata media finanziaria di un’obbligazione, cioè il tempo medio ponderato in cui si ricevono i flussi di cassa. È anche usata come misura del rischio dell’obbligazione rispetto alle variazioni del tasso di interesse.
Domanda: Perché il rischio di un’obbligazione aumenta con la maturity e diminuisce con i coupon?
Risposta: Perché più lontani nel tempo sono i flussi (maturity alta) e più piccoli sono i flussi intermedi (coupon bassi), maggiore è la sensibilità del prezzo dell’obbligazione alle variazioni del tasso di interesse di mercato.
Domanda: Qual è la differenza tra duration e duration modificata?
Risposta: La duration di Macaulay misura il tempo medio ponderato di recupero del capitale investito. La duration modificata, ottenuta dividendo la duration per (1 + r), serve a stimare direttamente la variazione percentuale del prezzo dell’obbligazione al variare del tasso di interesse.
Domanda: Quanto vale la duration di uno zero coupon bond?
Risposta: È esattamente uguale alla sua vita residua, perché l’unico flusso di cassa si riceve alla scadenza.
Domanda: Qual è il valore massimo della duration di un’obbligazione?
Risposta: È il valore della duration di una rendita perpetua a cedola costante, calcolato come (1 + r) / r. Nessuna obbligazione reale può superare questo valore, perché non ha vita infinita.
Domanda: Perché se si tiene un’obbligazione fino a scadenza non si ha rischio?
Risposta: Perché si conosce in anticipo il prezzo di acquisto, tutte le cedole e il valore di rimborso finale: il rendimento è quindi certo.
Il rischio si materializza solo se si decide di vendere l’obbligazione prima della scadenza, perché il prezzo di vendita dipende dal tasso di interesse in vigore in quel momento.
Come usare questa guida per preparare l’esame
Per sfruttare al meglio questa guida, conviene procedere per step.
Ripassa il calcolo del prezzo di un’obbligazione
La duration si basa sulla formula del prezzo dell'obbligazione: in caso di dubbi sulle modalità di attualizzazione di cedole e valore nominale, è opportuno ripassare quella parte, poiché la duration costituisce una variante ponderata dello stesso calcolo.
Memorizza lo schema in tre passaggi
Per ogni esercizio di duration:
- calcola il prezzo dell’obbligazione (denominatore);
- pesa ogni flusso attualizzato per il proprio periodo e somma (numeratore);
- dividi il numeratore per il prezzo per ottenere la duration.
Collega sempre duration e rischio
Prima di iniziare i calcoli, è opportuno verificare le caratteristiche dell'obbligazione in esame: la scadenza è lunga o corta? Le cedole sono alte o basse?
Questa verifica consente di valutare la coerenza del risultato numerico ottenuto (duration più alta in presenza di scadenza lunga e cedole basse, duration più bassa nel caso opposto).
Allenati con la duration modificata
Dopo aver calcolato la duration di Macaulay, è utile esercitarsi a trasformarla in duration modificata e a utilizzarla per stimare la variazione percentuale del prezzo in corrispondenza di una data variazione del tasso di interesse.
Si tratta di una tipologia di domanda ricorrente in sede d'esame.
Memorizza i due casi particolari
Tieni sempre a mente:
- duration di uno zero coupon bond = vita residua;
- duration massima teorica = duration di una rendita perpetua = (1 + r) / r.
Questi due casi ti permettono di risolvere velocemente alcune domande teoriche o di verificare se un risultato numerico ha senso.
Guarda il video sulla Duration
Nel video dedicato alla duration trovi:
definizioni di: duration di Macaulay, duration modificata, rischio di rivendita anticipata di un'obbligazione;
derivazione matematica della duration a partire dal calcolo del prezzo dell'obbligazione, con i relativi casi particolari (zero coupon bond e rendita perpetua).
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