Ammortamento italiano: guida completa con teoria ed esempi
In questo articolo vediamo l'ammortamento italiano, uno dei tre metodi di ammortamento più utilizzati in matematica finanziaria, con il metodo francese e il metodo americano.
La caratteristica principale dell'ammortamento italiano è questa: la quota capitale rimborsata in ogni rata è sempre la stessa, mentre la quota interessi cambia ogni periodo perché dipende dal livello di debito residuo.
Di conseguenza, a differenza del metodo francese (dove la rata è sempre costante), nell'ammortamento italiano la rata cambia a ogni pagamento.
In questa guida vediamo prima le formule fondamentali, poi un esempio numerico completo, e infine gli errori tipici e i consigli per l'esame.
Indice:
Che cos'è l'ammortamento italiano
L'ammortamento italiano è un metodo di rimborso del debito in cui ogni rata è composta da una quota capitale e da una quota interessi, esattamente come nel metodo francese.
La differenza fondamentale sta nel modo in cui si calcola la quota capitale.
Nell'ammortamento italiano, la quota capitale è fissa e costante in ogni periodo.
Si calcola dividendo il debito iniziale per il numero totale di rate:
C = D₀ / n
dove:
D₀ è il debito iniziale (l'importo del prestito)
n è il numero totale di rate
C è la quota capitale, costante per ogni periodo
Quindi vale sempre:
C₁ = C₂ = C₃ = ... = Cₙ = C
La quota interessi, invece, non è costante, perché dipende dal livello di debito residuo del periodo precedente:
Iₖ = i · Dₖ₋₁
Dove:
i è il tasso di interesse
Dₖ₋₁ è il debito residuo alla fine del periodo precedente
Siccome il debito residuo diminuisce nel tempo, la quota interessi diminuisce a ogni pagamento.
Di conseguenza, la rata complessiva:
Rₖ = C + Iₖ
è decrescente nel tempo: si parte da una rata più alta e si arriva a una rata più bassa.
Le formule fondamentali dell'ammortamento italiano
Ci sono tre formule chiave da ricordare sull'ammortamento italiano.
Prima formula – Il debito iniziale
Poiché la quota capitale è costante, la somma di tutte le quote capitale deve essere uguale al debito iniziale:
D₀ = C · n
Seconda formula – Il debito residuo
Il debito residuo a un certo periodo k si calcola come:
Dₖ = (n − k) · C
Il debito che rimane da pagare è dato dalle rate ancora da pagare (n − k) moltiplicate per la quota capitale costante C.
Terza formula – La quota interessi
Come già visto, la quota interessi di ogni periodo si calcola come:
Iₖ = i · Dₖ₋₁
Con queste tre formule si risolvono la maggior parte degli esercizi su questo argomento.
Esempio rapido
Un prestito viene rimborsato con n = 10 rate annuali, secondo il metodo dell'ammortamento italiano, a un tasso di interesse annuo i = 5%. Sapendo che la differenza tra la sesta e la settima rata è pari a 100€, calcolare l'importo del prestito D₀.
Passo 1 – Impostare la differenza tra le rate
Sapendo che ogni rata è composta da quota capitale (costante, C) e quota interessi:
R₆ = C + I₆
R₇ = C + I₇
Quindi:
R₆ − R₇ = (C + I₆) − (C + I₇) = I₆ − I₇ = 100€
La quota capitale si annulla nella sottrazione, perché è la stessa in ogni rata.
Passo 2 – Esprimere le quote interessi
Usando la formula della quota interessi:
I₆ = i · D₅
I₇ = i · D₆
Quindi:
I₆ − I₇ = i · (D₅ − D₆) = 100€
Passo 3 – Usare la formula del debito residuo
Applicando Dₖ = (n − k) · C:
D₅ = (10 − 5) · C = 5C
D₆ = (10 − 6) · C = 4C
Quindi:
D₅ − D₆ = 5C − 4C = C
Passo 4 – Risolvere per C
Sostituendo nell'equazione precedente:
i · C = 100€
0,05 · C = 100€
C = 100 / 0,05 = 2.000€
Passo 5 – Calcolare il debito iniziale
Usando la prima formula:
D₀ = C · n = 2.000 · 10 = 20.000€
Il prestito iniziale è pari a 20.000€.
Esempio numerico completo
Vediamo ora un esempio numerico completo, in cui l'ammortamento italiano si combina con un successivo passaggio all'ammortamento francese, come spesso richiesto agli esami.
Traccia
Un prestito di 12.000 euro viene rimborsato in 1 anno con pagamenti mensili, secondo il metodo dell'ammortamento italiano, a un tasso nominale annuo del 12%, composto mensilmente.
Calcolare l'importo delle prime due rate (R₁ e R₂).
Subito dopo il secondo pagamento, il debitore chiede alla banca di rimborsare il debito residuo con rate costanti, passando quindi all'ammortamento francese, aggiungendo altre 6 rate mensili al piano originario.
La banca accetta la richiesta, ma applica un nuovo tasso nominale annuo del 13,2%, composto mensilmente.
Calcolare l'importo dell'ultima quota capitale (C₁₈).
Passo 1 – Calcolare la quota capitale costante
C = D₀ / n = 12.000 / 12 = 1.000€
Passo 2 – Calcolare il tasso mensile
i₁₂ = j₁₂ / 12 = 12% / 12 = 1% = 0,01
Passo 3 – Calcolare R₁
La quota interessi del primo periodo si calcola sul debito iniziale:
I₁ = i₁₂ · D₀ = 0,01 · 12.000 = 120€
Quindi:
R₁ = C + I₁ = 1.000 + 120 = 1.120€
Passo 4 – Calcolare R₂
Prima serve il debito residuo dopo il primo pagamento:
D₁ = (n − 1) · C = (12 − 1) · 1.000 = 11.000€
Quota interessi del secondo periodo:
I₂ = i₁₂ · D₁ = 0,01 · 11.000 = 110€
Quindi:
R₂ = C + I₂ = 1.000 + 110 = 1.110€
Risultato: R₁ = 1.120€ e R₂ = 1.110€. Si nota che la rata diminuisce nel tempo, come ci si aspetta nell'ammortamento italiano.
Passo 5 – Cambio di piano dopo la seconda rata
Il debito residuo dopo la seconda rata è:
D₂ = (n − 2) · C = (12 − 2) · 1.000 = 10.000€
Questo diventa il nuovo debito da rimborsare con il piano francese.
Il nuovo numero totale di rate diventa 18 (12 originarie, ma fermandosi alla seconda, più 6 aggiuntive: quindi si rimborsa da t=3 a t=18).
Il nuovo tasso mensile è:
i₁₂ (nuovo) = 13,2% / 12 = 1,1% = 0,011
Passo 6 – Trovare la nuova rata costante
Usando la formula del valore attuale di una rendita (propria dell'ammortamento francese), applicata al debito residuo D₂ con le 16 rate rimanenti (da t=3 a t=18):
D₂ = R · [1 − (1 + i₁₂)^(−16)] / i₁₂
Sostituendo:
10.000 = R · [1 − (1,011)^(−16)] / 0,011
Risolvendo per R, si ottiene:
R = 685,03€
Passo 7 – Trovare il debito residuo D₁₇
Usando la formula del debito residuo nell'ammortamento francese:
D₁₇ = R · [1 − (1 + i₁₂)^(−1)] / i₁₂
Sostituendo R = 685,03€ e i₁₂ = 0,011:
D₁₇ ≈ 677,58€
Passo 8 – Trovare C₁₈
Sapendo che:
R = C₁₈ + I₁₈
dove I₁₈ = i₁₂ · D₁₇ = 0,011 · 677,58€ ≈ 7,45€
Quindi:
C₁₈ = R − I₁₈ = 685,03 − 7,45 ≈ 677,58€
L'ultima quota capitale rimborsata è quindi pari a circa 677,58€.
Errori tipici sull'ammortamento italiano
Ci sono alcuni errori che si ripetono spesso quando si studia questo metodo.
Confondere l'ammortamento italiano con quello francese
Nell'ammortamento francese è la rata a essere costante; nell'ammortamento italiano è la quota capitale a essere costante.
Sono due logiche opposte, e confonderle porta a impostare male l'intero esercizio.
Dimenticare che la rata cambia ogni periodo
Usare la stessa rata per tutti i periodi è sbagliato nell'ammortamento italiano: la rata diminuisce nel tempo, perché la quota interessi si riduce mentre la quota capitale resta fissa.
Sbagliare il calcolo del debito residuo
La formula Dₖ = (n − k) · C va applicata con attenzione: k è il numero di rate già pagate, non il numero di rate rimanenti. Invertire questo indice porta a un debito residuo sbagliato.
Calcolare la quota interessi sul debito attuale invece che su quello precedente
La quota interessi si calcola sempre sul debito residuo alla fine del periodo precedente (Dₖ₋₁), non sul debito residuo dello stesso periodo. È un dettaglio piccolo ma decisivo per la correttezza del calcolo.
Non convertire correttamente il tasso nominale in tasso periodale
Quando il tasso è nominale annuo composto mensilmente (per esempio j₁₂), va sempre diviso per il numero di periodi in un anno per ottenere il tasso mensile i₁₂ = j₁₂ / 12, prima di usarlo nelle formule.
Domande frequenti
Domanda: Che cos'è l'ammortamento italiano?
Risposta: È un metodo di rimborso del debito in cui la quota capitale rimborsata in ogni rata è sempre la stessa, mentre la quota interessi e la rata complessiva diminuiscono nel tempo.
Domanda: Come si calcola la quota capitale nell'ammortamento italiano?
Risposta: Si divide il debito iniziale per il numero totale di rate: C = D₀ / n.
Domanda: Perché la rata diminuisce nel tempo?
Risposta: Perché la quota capitale resta fissa, ma la quota interessi si calcola sul debito residuo, che diminuisce a ogni pagamento; quindi la somma delle due parti (la rata) si riduce progressivamente.
Domanda: Qual è la differenza principale con l'ammortamento francese?
Risposta: Nell'ammortamento francese la rata è costante e la quota capitale cambia; nell'ammortamento italiano è il contrario: la quota capitale è costante e la rata cambia.
Domanda: Come si calcola il debito residuo in un certo periodo?
Risposta: Si usa la formula Dₖ = (n − k) · C, dove n è il numero totale di rate, k è il numero di rate già pagate e C è la quota capitale costante.
Domanda: Cosa succede se durante il piano cambia il tasso di interesse o si passa a un altro tipo di ammortamento?
Risposta: Bisogna prima calcolare il debito residuo al momento del cambio (con le formule dell'ammortamento italiano), e poi trattare quel debito residuo come un nuovo prestito, applicando le formule del nuovo tipo di ammortamento (per esempio quello francese) con il nuovo tasso.
Come usare questa guida per preparare l'esame
Per prepararsi bene su questo argomento, è utile seguire questi passaggi.
Fissa bene la logica di base
Prima di tutto è fondamentale aver capito la differenza tra i tre metodi di ammortamento (francese, americano, italiano) e in particolare cosa resta costante nell'ammortamento italiano: la quota capitale, non la rata.
Memorizza le tre formule chiave
D₀ = C · n
Dₖ = (n − k) · C
Iₖ = i · Dₖ₋₁
Allenati con esercizi che richiedono di "risalire" ai dati
Molti esercizi non forniscono direttamente C o D₀, ma informazioni indirette (come la differenza tra due rate, R₆ − R₇ = 100).
Bisogna quindi allenarsi a impostare l'equazione partendo dalla definizione di rata (R = C + I) e a sfruttare le formule del debito residuo per risolvere l'incognita.
Esercitati sui piani misti
Negli esami più complessi, spesso l'ammortamento italiano si trasforma a metà piano in un ammortamento francese (o viceversa).
In questi casi, il debito residuo calcolato con le formule dell'ammortamento italiano diventa il "nuovo debito iniziale" per il piano successivo. Occorre quindi ricontrollare sempre quante rate rimangono e con quale tasso.
Collega questo capitolo ai metodi già visti
Dato che l'ammortamento italiano è solo uno dei metodi di ammortamento, insieme al metodo francese e quello americano, è utile ripassare velocemente anche quei due metodi, per riconoscere subito, leggendo un esercizio, quale tipo di ammortamento si sta affrontando.
Guarda il video sull'ammortamento italiano
Nel video dedicato all'ammortamento italiano trovi:
definizione e caratteristiche dell'ammortamento italiano, con il confronto rispetto ai piani francese e americano;
le formule della quota capitale costante, della quota interessi variabile e del debito residuo.
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