Ammortamento francese: guida completa con teoria ed esempi
In questo articolo vediamo l'ammortamento francese, il metodo più usato per rimborsare un prestito o un mutuo con rate periodiche.
Un prestito è la cessione di una somma di denaro dal prestatore al debitore, che si impegna a restituirla insieme agli interessi maturati su quella somma. Il mutuo è una particolare tipologia di prestito: di medio-lungo termine (5-30 anni), destinata a un obiettivo specifico (ad esempio l'acquisto di una casa) e rimborsata tramite rate periodiche.
Nell'ammortamento francese la rata rimane costante, ma la sua composizione interna varia nel tempo.
In questo articolo vedremo le basi dell'ammortamento, le formule del metodo francese, un esempio numerico, gli errori più comuni e i consigli per l'esame.
Indice:
Che cos’è l’ammortamento di un prestito
L'ammortamento di un prestito è il processo con cui si restituisce, nel tempo, il capitale richiesto, insieme agli interessi maturati su quel capitale, attraverso il pagamento di una rata.
Ogni rata pagata è in realtà composta da due elementi distinti, anche se viene versato un unico importo.
Indicando la rata pagata al tempo k con Rk, questa rata è sempre la somma di due parti:
la quota capitale, indicata con Ck, cioè la parte della rata che riduce il debito residuo;
la quota interesse, indicata con Ik, cioè la parte della rata che remunera il prestatore per la somma concessa in prestito.
La relazione fondamentale è quindi:
Rk = Ck + Ik
Le formule di base dell'ammortamento
Prima di arrivare al metodo francese, è importante conoscere tre formule generali, valide per qualsiasi tipo di ammortamento.
Interesse del periodo k
L'interesse dovuto in un certo periodo dipende dal debito residuo alla fine del periodo precedente:
Ik = Dk-1 × i
dove:
Dk-1 è il debito residuo alla fine del periodo precedente;
i è il tasso di interesse.
Debito residuo dopo il pagamento
Ad ogni pagamento di una rata, il debito residuo si riduce della sola quota capitale:
Dk = Dk-1 – Ck
Somma di tutte le quote capitale
La somma di tutte le quote capitale pagate durante l'intera durata del prestito corrisponde esattamente al debito iniziale:
D0 = C1 + C2 + C3 + … + Cn
Questa relazione deriva dal fatto che, al termine del piano di ammortamento, il capitale preso in prestito risulta interamente restituito, senza eccedenze o mancanze (gli interessi costituiscono un costo aggiuntivo e non fanno parte del capitale da rimborsare).
La caratteristica dell'ammortamento francese
L'ammortamento francese si distingue dagli altri metodi per una caratteristica facilmente riconoscibile: la rata rimane costante per tutta la durata del prestito.
Questo significa che, quando un esercizio indica pagamenti "dello stesso importo" o "con rate costanti", si tratta di un ammortamento francese.
Il fatto che la rata resti fissa non significa che la sua composizione interna resti fissa.
Si verifica infatti l'opposto:
all'inizio del piano il debito residuo è elevato, quindi la quota interesse è alta e la quota capitale è bassa;
con la progressiva riduzione del debito, la quota interesse diminuisce, poiché calcolata su un debito residuo via via più basso;
di conseguenza, rimanendo la rata costante, la quota capitale aumenta progressivamente nel tempo.
In sintesi, nelle prime rate la componente principale è rappresentata dagli interessi, mentre nelle ultime rate prevale la quota capitale, sebbene l'importo complessivo della rata non subisca variazioni.
Le tre formule fondamentali dell'ammortamento francese
Oltre alle tre formule generali viste in precedenza, nell'ammortamento francese serve conoscere altre tre formule specifiche.
1.Debito iniziale
Il debito iniziale è pari al valore attuale di una rendita costante:
D0 = R × [1 – (1 + i)^(–n)] / i
dove:
R è la rata costante;
i è il tasso di interesse del periodo;
n è il numero totale di pagamenti.
2.Debito residuo al periodo k
Il debito residuo dopo aver pagato k rate si calcola in modo simile, ma considerando solo i pagamenti rimanenti:
Dk = R × [1 – (1 + i)^-(n-k)] / i
3.Relazione tra quote capitale in periodi diversi
Le quote capitale crescono nel tempo secondo una legge di capitalizzazione composta:
Ck = Cj × (1 + i)^(k-j)
Questa formula permette di ricavare la quota capitale di un periodo qualsiasi a partire dalla quota capitale di un altro periodo, applicando la capitalizzazione (o l'attualizzazione) per un numero di periodi pari alla differenza k-j.
Esempio numerico completo
Traccia
Un prestito viene rimborsato con 8 pagamenti annuali di importo costante, secondo il metodo dell'ammortamento francese.
Il tasso di interesse annuale applicato è i = 4% (0,04). Il debito residuo alla fine del secondo anno è D2 = 1.005.
Calcolare l'interesse pagato alla fine del quinto anno (I5).
Passo 1 – Impostare la formula di partenza
La relazione di base è:
I5 = D4 × i
Il tasso di interesse è noto (4%), mentre il debito residuo D4 non è disponibile e deve essere calcolato.
Passo 2 – Calcolo della rata a partire da D2 per poi calcolare D4
In questa fase, si applica la formula del debito residuo al periodo k, riferita al secondo anno (n = 8, k = 2, quindi n – k = 6):
D2 = R × [1 – (1 + i)^-6] / i
Sostituendo i dati (D2 = 1.005, i = 0,04):
1.005 = R × [1 – (1,04)^-6] / 0,04
Isolando R:
R = 1.005 × 0,04 / [1 – (1,04)^-6]= 286,14€
Passo 3 – Calcolo del debito residuo al quarto anno
Si applica nuovamente la formula del debito residuo, questa volta per k = 4 (n – k = 4):
D4 = R × [1 – (1 + i)^-4] / i
Sostituendo R = 286,14 e i = 0,04:
D4 = 286,14 × [1 – (1,04)^-4] / 0,04= 1.038,67€
Passo 4 – Calcolo dell'interesse del quinto anno
Con D4 determinato, si procede al calcolo di I5:
I5 = D4 × i = 1.038,67 × 0,04= 41,55€
L'interesse pagato alla fine del quinto anno è I5 = 41,55.
Lo svolgimento evidenzia una procedura tipica dell'ammortamento francese: in assenza di un dato richiesto (nell'esempio D4), è possibile calcolare la rata costante R utilizzando un'informazione disponibile sul debito residuo (nell'esempio D2), per poi ricavare a cascata le altre grandezze necessarie.
Errori tipici sull'ammortamento francese
Ci sono alcuni errori che si ripetono spesso negli esercizi.
Confondere quota capitale e quota interesse
La quota capitale riduce il debito residuo, la quota interesse remunera il prestatore. Se si invertono le due componenti, tutti i calcoli successivi risultano sbagliati.
Dimenticare che la rata è costante solo nell'ammortamento francese
Non tutti i piani di ammortamento hanno rata fissa.
Prima di applicare le formule del metodo francese, occorre verificare che il testo parli di pagamenti "dello stesso importo".
Non adattare tasso e numero di periodi alla frequenza dei pagamenti
Se i pagamenti sono mensili ma il tasso fornito è annuale, bisogna trasformare il tasso in tasso mensile equivalente e usare come n il numero totale di pagamenti (mesi), non il numero di anni.
Sbagliare l'esponente nella formula del debito residuo
Nella formula di Dk, l'esponente corretto è -(n-k), cioè il numero di pagamenti ancora da effettuare, non il numero di pagamenti già effettuati.
Non usare i dati intermedi forniti dal testo
Spesso il testo fornisce un debito residuo o una quota capitale relativa a un anno specifico proprio per permettere di ricavare la rata. Se si ignora questo dato, si rischia di rimanere bloccati per mancanza di informazioni.
Domande frequenti
Domanda: Che cos'è l'ammortamento francese?
Risposta: È un metodo di rimborso di un prestito in cui la rata pagata a ogni periodo è sempre costante, mentre la composizione interna tra quota capitale e quota interesse cambia nel tempo.
Domanda: Perché la quota capitale aumenta nel tempo nell'ammortamento francese?
Risposta: Perché il debito residuo diminuisce a ogni pagamento, quindi la quota interesse (calcolata sul debito residuo) diminuisce; siccome la rata resta fissa, la quota capitale deve necessariamente aumentare per compensare.
Domanda: Qual è la formula del debito iniziale nell'ammortamento francese?
Risposta: Il debito iniziale è pari al valore attuale di una rendita costante, cioè D0 = R × [1 – (1 + i)^-n] / i.
Domanda: Come si calcola il debito residuo a un certo periodo k?
Risposta: Si usa la stessa logica del valore attuale di una rendita, ma considerando solo i pagamenti rimanenti: Dk = R × [1 – (1 + i)^-(n-k)] / i.
Domanda: Cosa fare se il tasso di interesse è annuale ma i pagamenti sono mensili?
Risposta: Bisogna trasformare il tasso annuale in tasso mensile equivalente, mantenendo la coerenza tra il periodo del tasso e la frequenza dei pagamenti, e usare come numero di rate il totale dei pagamenti mensili previsti.
Domanda: Come si trova la quota capitale di un periodo diverso da quello noto?
Risposta: Si usa la relazione Ck = Cj × (1 + i)^(k-j), che permette di "spostare" la quota capitale da un periodo a un altro applicando la capitalizzazione composta.
Come usare questa guida per preparare l'esame
Per sfruttare al massimo questa guida in vista dell'esame di matematica finanziaria, conviene procedere per step.
Fissa bene le formule di base:
Rk = Ck + Ik;
Ik = Dk-1 × i;
Dk = Dk-1 – Ck;
D0 = somma di tutte le Ck.
Un buon consiglio è costruire un formulario personale, dove scrivere ogni formula insieme a una breve nota su quando e come si usa.
Considera le formule specifiche del metodo francese
Una volta fissate le formule generali, è fondamentale memorizzare anche:
D0 = R × [1 – (1 + i)^-n] / i;
Dk = R × [1 – (1 + i)^-(n-k)] / i;
Ck = Cj × (1 + i)^(k-j).
Allenati a riconoscere quale formula usare
Negli esercizi di ammortamento non esiste quasi mai un unico percorso di soluzione. Un metodo efficace consiste nell'individuare, ogni volta che manca un dato, quale formula collega l'incognita alle grandezze già note.
Se un determinato percorso non conduce a un risultato utile, si deve ricorrere a una formula alternativa.
Fai attenzione alla coerenza tra tasso e periodo
Molti errori nascono da una mancata trasformazione del tasso quando la frequenza dei pagamenti cambia (mensile, trimestrale, annuale).
È opportuno verificare sempre, prima di iniziare i calcoli, la coerenza tra il tasso di interesse e il periodo dei pagamenti.
Collega questo argomento ai metodi successivi
L'ammortamento francese rappresenta solo uno dei metodi di rimborso di un prestito. Una volta acquisita padronanza di questo metodo, il passaggio ad altre varianti, come il metodo italiano o il metodo americano, risulta più semplice, poiché la logica di fondo, basata su rata, quota capitale, quota interesse e debito residuo, rimane invariata: a variare è unicamente la regola con cui viene costruita la rata.
Guarda il video sull'ammortamento francese
Nel video dedicato all'ammortamento francese trovi:
l'introduzione generale all'ammortamento di un prestito, con la definizione di rata, quota capitale e quota interesse;
la spiegazione delle formule del metodo francese.
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