Modello di Solow: guida completa di macroeconomia
- Antonio Lo Surdo
- 24 mag
- Tempo di lettura: 13 min
Il modello di Solow è uno degli argomenti più impegnativi della macroeconomia, ma anche uno dei più affascinanti, perché cerca di rispondere a una delle domande più grandi dell'economia: perché alcuni Paesi crescono e diventano ricchi, mentre altri rimangono indietro?
Il modello è stato sviluppato da Robert Solow, premio Nobel, a partire dal 1956, ed è ancora oggi il punto di partenza di tutta la teoria della crescita economica. L'idea di fondo è capire come tre fattori principali influenzano il livello del Pil di un Paese nel lungo periodo:
l'accumulazione di capitale (macchine, impianti, infrastrutture);
la crescita demografica (l'aumento del numero di lavoratori);
il progresso tecnologico (la capacità di produrre di più con le stesse risorse).
In questa guida vedremo il modello passo per passo, seguendo la progressione logica: prima il caso base con solo il capitale e l'ammortamento, poi l'introduzione della crescita demografica, infine il progresso tecnologico.
Per ciascun caso analizzeremo i due concetti centrali del modello: lo stato stazionario e la Golden Rule.
Indice:
Le condizioni di base del modello
Prima di entrare nel dettaglio, è utile conoscere le ipotesi su cui si basa il modello di Solow:
Rendimenti di scala costanti: se si raddoppiano tutti gli input (capitale e lavoro), la produzione raddoppia esattamente. Non ci sono né economie di scala né diseconomie di scala.
Economia chiusa: il paese non ha rapporti commerciali o finanziari con l'estero.
Assenza di governo: non c'è spesa pubblica, tasse né politiche fiscali.
Con queste ipotesi il modello si concentra sui meccanismi fondamentali della crescita, senza la complessità delle interazioni con l'estero o con il settore pubblico.
Offerta, domanda e investimento per persona
Il punto di partenza del modello è guardare tutto per persona, non in valori assoluti.
Lato dell'offerta
Le aziende producono usando due fattori: il capitale K e il lavoro L. In forma aggregata la produzione è:
Y = F(K, L)
Siccome lavoriamo per persona, dividiamo per L e otteniamo:
Y/L = f(K/L)
Infine possiamo riscrivere la funzione come:
y = f(k)
dove y è la produzione per persona e k è il capitale per persona.
La funzione f(k) ha una forma concava: all'inizio un'unità aggiuntiva di capitale aumenta molto la produzione, poi l'aumento diventa sempre più piccolo (produttività marginale del capitale decrescente).
Lato della domanda
La produzione per persona (y) viene destinata al consumo (c) o all'investimento (i):
y = c + i
Si assume che ogni persona risparmia una quota fissa s del suo reddito e consuma il resto. Quindi:
c = (1 - s) · y
e di conseguenza, sviluppando avremo:
y = (1 - s) · y + i
y = y - s · y + i
y - y = - s · y + i
- i = - s · y
Sostituendo y=f(k) otteniamo:
i = s · y = s · f(k)
L'investimento per persona è quindi una frazione fissa (s) della produzione per persona.
Il capitale e l'ammortamento
Il capitale non si accumula all'infinito. Con il tempo le macchine si usurano e perdono valore: questo fenomeno si chiama ammortamento. Se il tasso di ammortamento è delta (δ), ogni anno il capitale perde una quota delta del suo valore.
Il cambiamento del capitale per persona da un anno all'altro è quindi:
k t+1 = s · f(k) - δ · k
Il primo termine, s · f(k), rappresenta quanto nuovo capitale si accumula grazie all'investimento.
Il secondo termine, δ · k, rappresenta quanto capitale si perde ogni anno per ammortamento.
Se l'investimento supera l'ammortamento (s · f(k) > δ · k), il capitale aumenta.
Se l'ammortamento supera l'investimento (s · f(k) < δ · k), il capitale diminuisce.
Se ammortamento e investimento sono uguali (s · f(k) = δ · k), il capitale non cambia.
Lo stato stazionario
Lo stato stazionario è la situazione in cui il livello di capitale per persona non cambia più nel tempo, cioè:
kt+1 = 0
Dalla formula del cambiamento del capitale, questo si verifica quando:
s · f(k) = δ · k
Lo stato stazionario, dunque, si raggiunge quando l'investimento per persona eguaglia esattamente l'ammortamento per persona. Ogni anno si produce nuovo capitale tanto quanto se ne perde.
Da un punto di vista grafico, lo stato stazionario corrisponde al punto di incrocio tra la curva s · f(k) (l'investimento, che ha forma concava) e la retta δ · k (l'ammortamento, che è una linea retta con pendenza delta).
A sinistra del punto: il capitale sta crescendo perché l'investimento supera l'ammortamento.
A destra del punto: il capitale sta diminuendo perché l'ammortamento supera l'investimento.
Il sistema converge quindi naturalmente verso lo stato stazionario.
Cosa succede se il tasso di risparmio (s) aumenta?
Se il tasso di risparmio (s) aumenta, la curva s · f(k) si sposta verso l'alto. Il nuovo punto di incrocio con δ · k si trova a un livello di k più alto.
In altre parole, un tasso di risparmio più elevato porta a uno stato stazionario con più capitale per persona e più produzione per persona.
Attenzione: questo è un aumento del livello del Pil, non del tasso di crescita di lungo periodo.
Esempio numerico
Vediamo un esempio numerico che mostra come calcolare lo stato stazionario nel caso base (solo δ).
Dati
Funzione di produzione:
y = 20 · k^(1/2)
Tasso di risparmio:
s = 0,2 = (20%)
Tasso di ammortamento:
δ = 0,1 = (10%)
Non c'è crescita demografica (n = 0) e non c'è progresso tecnologico (g = 0)
Passo 1 – Scrivere la condizione di stato stazionario
s · f(k) =δ · k
Sostituiamo:
0,2 · 20 · k^(1/2) = 0,1 · k
4 · k^(1/2) = 0,1 · k
Passo 2 – Risolvere per k
Dividiamo entrambi i membri per k^(1/2) (con k diverso da zero):
4 = 0,1 · k^(1/2)
Dividiamo per 0,1:
40 = k^(1/2)
Eleviamo al quadrato ambo i membri:
k* = 1600
Passo 3 – Trovare la produzione per persona
Sostituiamo k* = 1600 nella funzione di produzione:
y* = 20 · 1600^(1/2) = 20 · 40 = 800
Passo 4 – Trovare il consumo per persona
c* = (1 - s) · y*
= (1 - 0,2) · 800
= 0,8 · 800 = 640
Interpretazione: In stato stazionario il capitale per persona è 1600, la produzione per persona è 800 e il consumo per persona è 640. Il restante 160 (pari al 20% di 800) viene risparmiato e investito, e serve esattamente a compensare l'ammortamento (0,1 · 1600 = 160). Il sistema è in equilibrio: il capitale non cresce né diminuisce.
La Golden Rule
Lo stato stazionario ci dice qual è il livello di capitale di equilibrio dato un certo tasso di risparmio s. Ma quale tasso di risparmio è ottimale?
A questa domanda risponde la Golden Rule, o Regola Aurea.
La Golden Rule identifica il livello di capitale che massimizza il consumo pro capite di lungo periodo.
In stato stazionario il consumo per persona è:
c = f(k) - δ· k
cioè la produzione meno l'ammortamento (che in stato stazionario equivale all'investimento). Per massimizzare c, dobbiamo trovare il livello di k in cui la differenza tra f(k) e la retta δ · k è massima.
Matematicamente, il massimo si trova dove la pendenza di f(k) è uguale alla pendenza di δ · k, cioè dove:
PMK = δ
dove PMK è la produttività marginale del capitale, cioè la derivata della funzione di produzione; dunque, il consumo è massimo quando un'unità aggiuntiva di capitale produce esattamente tanto quanto è necessario per compensare il suo ammortamento.
Da un punto di vista grafico, il capitale Golden Rule si trova spostando parallelamente la retta δ · k finché non è tangente alla curva f(k). Il punto di tangenza indica il livello k_gold.
Nota importante: lo stato stazionario è un concetto positivo (descrive dove converge il sistema dato s), la Golden Rule è un concetto normativo (dice quale livello sarebbe ottimale per il benessere). Il tasso di risparmio effettivo di un Paese può essere maggiore o minore di quello della Golden Rule.
Crescita demografica
Nella realtà la popolazione cresce nel tempo. Se ogni anno il numero di lavoratori aumenta a un tasso n, il capitale per persona tende a diminuire (retta rossa nel grafico) anche senza ammortamento, semplicemente perché le macchine si "diluiscono" su più lavoratori.
La formula del cambiamento del capitale diventa:
kt+1 = s · f(k) - (δ + n) · k
L'unica modifica rispetto a prima è che al posto di δ · k abbiamo (δ+ n) · k.
Questo termine complessivo si chiama investimento di pareggio: è l'investimento necessario per mantenere costante il capitale per persona, tenendo conto sia dell'ammortamento sia dell'aumento della forza lavoro.
Da un punto di vista grafico, la retta dell'investimento di pareggio diventa più ripida (retta verde) rispetto al caso senza crescita demografica (retta nera) (pendenza δ+n invece di solo δ). Di conseguenza il nuovo stato stazionario si trova a un livello di k più basso.
Cosa significa concretamente?
Un Paese con una crescita demografica più elevata, a parità di tutto il resto, raggiunge uno stato stazionario con meno capitale per persona e meno produzione per persona. Per mantenere il capitale per lavoratore costante, bisogna investire di più solo per "stare al passo" con la crescita della popolazione.
La Golden Rule diventa:
PMK = δ + n
La pendenza della funzione di produzione deve eguagliare la pendenza della retta (δ + n) · k. Graficamente, si cerca il punto di tangenza tra f(k) e la retta con pendenza δ + n.
Progresso tecnologico
Il terzo e ultimo caso aggiunge il progresso tecnologico, indicato con g. Il progresso tecnologico rappresenta la crescita dell'efficienza produttiva nel tempo: ogni lavoratore diventa progressivamente più produttivo.
La formula del cambiamento del capitale diventa:
kt+1 = s · f(k) - (δ + n + g) · k
Si aggiunge g al termine dell'investimento di pareggio: ora il capitale per lavoratore "efficiente" deve compensare anche la crescita della produttività, oltre all'ammortamento e alla crescita demografica.
Graficamente, la retta (δ + n + g) · k ha una pendenza ancora maggiore rispetto al caso della sola crescita demografica. Il nuovo stato stazionario si trova a un k ancora più basso.
Il punto di Golden Rule si trova imponendo:
PMK = δ + n + g
La pendenza della funzione di produzione deve eguagliare la pendenza della retta (δ + n +g) · k. Graficamente, si cerca il punto di tangenza tra f(k) e la retta con pendenza δ + n + g.
Esempio numerico con crescita demografica e progresso tecnologico
Dati aggiuntivi rispetto all'esempio precedente:
Tasso di crescita demografica: n = 0,015 = (1,5%)
Tasso di progresso tecnologico: g = 0,035 = (3,5%)
Passo 1 - La condizione di stato stazionario diventa
s · f(k) = (δ + n + g) · k
0,2 · 20 · k^(1/2) = (0,1 + 0,015 + 0,035) · k
4 · k^(1/2) = 0,15 · k
Passo 2 - Dividiamo per k^(1/2)
4 = 0,15 · k^(1/2)
k^(1/2) = 4 / 0,15 = 26,67 (circa)
k* = 26,67^2 ≈ 711
Passo 3 - Troviamo la produzione in stato stazionario
La produzione per persona in stato stazionario:
y* = 20 · 711^(1/2) ≈ 20 · 26,67 ≈ 533
Interpretazione: Aggiungendo crescita demografica e progresso tecnologico, il capitale di stato stazionario per lavoratore scende da 1600 a circa 711 e la produzione per lavoratore da 800 a circa 533. Questo non significa che il paese si sia impoverito: significa che le risorse sono "diluite" su una forza lavoro più numerosa e su unità di lavoro effettivo più produttive. Nel lungo periodo, la crescita del Pil totale avviene al tasso n + g = 5%.
I tassi di crescita in stato stazionario
Un aspetto chiave del modello di Solow è capire cosa cresce e cosa non cresce in stato stazionario.
Modello base (solo ammortamento): in stato stazionario
il Pil per persona (y) non cresce (Delta y = 0).
Con crescita demografica: in stato stazionario
Il Pil per persona non cresce a livello pro capite.
Il Pil totale cresce a tasso n, grazie alla crescita della popolazione.
Con crescita demografica e progresso tecnologico: in stato stazionario
il Pil per persona cresce al tasso g.
Il Pil totale cresce a tasso n + g.
Il progresso tecnologico è quindi l'unica fonte di crescita del benessere pro capite nel lungo periodo secondo il modello di Solow.
Errori tipici sul modello di Solow
Gli errori più comuni che vengono solitamente commessi quado si parla del modello di Solow sono:
Confondere stato stazionario e Golden Rule
Lo stato stazionario è il punto di equilibrio a cui il sistema converge dato il tasso di risparmio s. La Golden Rule è il livello ottimale di k che massimizza il consumo. Sono due concetti diversi: il paese può trovarsi in stato stazionario senza essere nella Golden Rule.
Pensare che un tasso di risparmio più alto sia sempre meglio
Un tasso di risparmio alto porta a un capitale di stato stazionario più elevato, ma anche a più risorse destinate all'investimento e meno al consumo. Se si è già oltre la Golden Rule (troppo capitale rispetto all'ottimale), ridurre s aumenterebbe il benessere. Non è quindi vero che risparmiare di più sia sempre meglio.
Dimenticare di aggiungere n e g alla retta dell'investimento di pareggio
Quando il modello include crescita demografica o progresso tecnologico, la retta dell'investimento di pareggio non è più solo δ · k ma (δ + n + g) · k. Dimenticare n o g porta a trovare uno stato stazionario sbagliato.
Confondere livello e tasso di crescita
Nel modello di Solow, un aumento del tasso di risparmio alza il livello del Pil pro capite di stato stazionario, ma non il tasso di crescita di lungo periodo. Il tasso di crescita pro capite di lungo periodo dipende solo da g. Questo è uno dei risultati più importanti (e controintuitivi) del modello.
Non ricordare come si trova la Golden Rule graficamente
La Golden Rule non si trova all'incrocio tra s · f(k) e (δ + n + g) · k. Si trova traslando la retta (δ + n + g) · k fino al punto di tangenza con la curva f(k). Fare l'incrocio anziché la tangenza è un errore frequente.
Non sapere i tassi di crescita in stato stazionario
In stato stazionario: la crescita di k è zero, la crescita di y per lavoratore è zero nel modello base e uguale a g nel modello con progresso tecnologico, la crescita del Pil totale è n + g. Confondere questi tassi è uno degli errori più comuni negli esercizi.
Come usare questa guida per preparare l’esame
Per sfruttare davvero questa guida in ottica esame, conviene procedere per step.
Padroneggia la logica prima delle formule
Il modello di Solow si studia meglio capendo prima la logica economica (perché lo stato stazionario esiste? Perché la Golden Rule massimizza il consumo?) e poi memorizzando le formule. Se si capisce il ragionamento, le formule vengono da sole.
Studia i tre casi in progressione
Caso 1: solo ammortamento (la situazione più semplice, solo delta)
Caso 2: aggiunta della crescita demografica (aggiungi n)
Caso 3: aggiunta del progresso tecnologico (aggiungi g)
Per ciascun caso impara: la formula del cambiamento di k, la condizione di stato stazionario, la condizione di Golden Rule.
Memorizza le formule chiave
In stato stazionario: s · f(k) = (δ + n + g) · k
Golden Rule: PMK = f'(k) = δ + n + g
Tassi di crescita in stato stazionario:
Crescita di k: 0
Crescita di y (pro capite): g (solo con progresso tecnologico)
Crescita di Y totale: n + g
Allena gli esercizi numerici con la procedura standard
Per ogni esercizio numerico segui sempre questa sequenza:
Identifica la funzione di produzione f(k) e i parametri s, δ, n, g (se non ci sono n e g, mettili a zero).
Scrivi la condizione di stato stazionario: s · f(k) = (δ + n + g) · k.
Sostituisci la funzione di produzione e risolvi per k.
Con k trovato, calcola y = f(k) e c = (1 - s) · y.
Se ti chiedono la Golden Rule, trova f'(k) e imponila uguale a δ + n + g per trovare k_gold.
Collega la parte algebrica al grafico
Dopo ogni calcolo, disegna il grafico corrispondente con f(k), s · f(k) e (δ + n + g) · k e indica il punto di stato stazionario. Se ti chiedono la Golden Rule, mostra la tangenza tra f(k) e la retta traslata. L'esame chiede quasi sempre sia il calcolo sia il grafico.
Fai attenzione agli effetti degli shock
Domande tipiche sono: "cosa succede se s aumenta?" o "cosa succede se n cresce?". La risposta si struttura sempre così: identifica quale curva si sposta, in quale direzione, dove si trova il nuovo stato stazionario e se il k di stato stazionario è aumentato o diminuito rispetto a prima.
Domande frequenti
Domanda: Che cos'è il modello di Solow?
Risposta: È un modello di teoria della crescita economica che analizza come l'accumulazione di capitale, la crescita demografica e il progresso tecnologico determinano il livello di produzione pro capite nel lungo periodo.
Domanda: Che cos'è lo stato stazionario?
Risposta: È la situazione in cui il capitale per lavoratore non cambia più nel tempo. Si raggiunge quando l'investimento per persona eguaglia esattamente l'investimento di pareggio (ammortamento più eventuali effetti di crescita demografica e progresso tecnologico).
Domanda: Come si trova lo stato stazionario?
Risposta: Si impone kt+1 = 0, cioè s · f(k) = (δ + n + g) · k, e si risolve per k. Graficamente corrisponde al punto di incrocio tra la curva s · f(k) e la retta (δ + n + g) · k.
Domanda: Che cos'è la Golden Rule?
Risposta: È il livello di capitale che massimizza il consumo pro capite di lungo periodo. Si trova imponendo PMK = δ + n + g, cioè cercando il punto in cui la pendenza della funzione di produzione eguaglia la pendenza della retta dell'investimento di pareggio.
Domanda: Un aumento del tasso di risparmio fa crescere il Pil nel lungo periodo?
Risposta: Fa aumentare il livello del Pil pro capite di stato stazionario, ma non il tasso di crescita di lungo periodo. Il tasso di crescita pro capite di lungo periodo dipende solo dal progresso tecnologico g.
Domanda: Perché la crescita demografica riduce il capitale per lavoratore?
Risposta: Perché con più lavoratori, il capitale esistente si "divide" su più persone. Per mantenere costante il capitale per lavoratore, bisogna investire ogni anno una quota aggiuntiva pari a n · k, oltre all'ammortamento.
Domanda: Cosa succede se il livello di capitale è inferiore allo stato stazionario?
Risposta: L'investimento supera l'investimento di pareggio, quindi kt+1 > 0 e il capitale aumenta. Il sistema converge verso lo stato stazionario dal basso. Se il capitale è sopra lo stato stazionario, avviene il contrario.
Guarda il video
Nel video dedicato al modello di Solow trovi:
la logica economica del modello con le tre condizioni generali (rendimenti costanti, economia chiusa, assenza di governo);
la costruzione del grafico con f(k) e s · f(k) e il significato di consumo, risparmio e investimento per persona;
la spiegazione dello stato stazionario con il punto di incrocio tra s · f(k) e δ · k;
l'introduzione della Golden Rule con la tangenza e il concetto di produttività marginale del capitale.
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