Attualizzazione: guida completa con teoria ed esempi
- Francesca Palmieri
- 29 lug
- Tempo di lettura: 9 min
In questa guida vediamo l'attualizzazione, cioè l'operazione inversa della capitalizzazione.
L'idea centrale è semplice: partiamo da un valore futuro per trovarne il valore oggi.
Pensa a questa domanda: "Quanto sei disposto a investire oggi per ricevere 3.000 euro tra tre anni?" Questo è esattamente il tipo di problema che risolve l'attualizzazione.
Vedremo l'attualizzazione per tutti e due i regimi che si studiano normalmente: regime semplice e composto. Poi faremo un esempio numerico completo che mescola attualizzazione e capitalizzazione, così come capita spesso negli esercizi d'esame.
Indice:
Cos'è l'attualizzazione e perché si usa
L'attualizzazione è l'operazione inversa della capitalizzazione:
la capitalizzazione parte da un capitale oggi e ne calcola il valore futuro;
l'attualizzazione parte da un valore futuro e ne calcola il valore oggi.
Il motivo per cui l'attualizzazione è utile, è il cosiddetto valore temporale del denaro:
1 euro disponibile oggi ha un valore economico superiore a 1 euro disponibile in futuro, poiché può essere investito immediatamente e generare un rendimento nel periodo intercorrente fino alla data futura.
Quindi, per confrontare somme di denaro disponibili in istanti diversi, è necessario riportarle a uno stesso istante temporale, e ciò è possibile con l'attualizzazione.
Questo concetto è fondamentale non solo in matematica finanziaria, ma anche in finanza aziendale. Il prezzo di qualsiasi strumento finanziario (un'obbligazione, un'azione, un progetto d'investimento) non è altro che il valore attuale dei flussi di cassa futuri che quello strumento genererà.
Attualizzazione in regime semplice
Nella capitalizzazione semplice, il montante M era uguale a:
M = C ⋅ (1 + i ⋅ t)
Con l'attualizzazione conosciamo M, il valore futuro (ad esempio nell'istante t=1) e vogliamo trovare C, il valore oggi o valore attuale (ad esempio nell'istante t=0).
Per farlo basta modificare la formula precedente, dividendo entrambi i membri per la funzione di capitalizzazione (1 + i · t):
C = M / (1 + i · t)
dove:
M è il valore futuro (il montante che si riceverà);
i è il tasso di interesse;
t è il numero di periodi su cui si attualizza.
Esempio rapido: Qual è il valore attuale al tempo t=0 di un capitale di 1.100 € disponibile tra 2 anni, in regime di interesse semplice al tasso del 5%?
C = 1.100 / (1 + 0,05 · 2) = 1.100 / 1,10 = 1.000€
Attualizzazione di più flussi in diversi istanti temporali
Se hai più flussi in momenti diversi, li devi attualizzare uno per uno e poi sommare.
In questo caso, si calcola il valore attuale totale, che è il capitale unico che oggi è economicamente equivalente all'intera sequenza dei pagamenti futuri.
Il valore attuale totale al tempo 0 è:
V0 = F1 / (1 + i · t1) + F2 / (1 + i · t2) + F3 / (1 + i · t3)
dove:
t1, t2, t3 sono i periodi che intercorrono tra ciascun flusso e l'istante 0;
F1, F2, F3 sono i flussi in ciascun istante temporale;
i è il tasso di interesse.
Esempio rapido: quanto valgono oggi un flusso di 1.000€ (F1) all'anno 1 (t1) e un flusso di 1.200€ (F2) all'anno 2 (t2), con i = 10% in regime semplice?
V0 = 1.000 / (1 + 0,10 · 1) + 1.200 / (1 + 0,10 · 2)= 1.909,09€
Attualizzazione in regime composto
Nella capitalizzazione composta, il montante M era uguale a:
M = C · (1 + i)^t
Invertendo la formula per l'attualizzazione in regime composto, il capitale o il valore attuale è:
C = M / (1 + i)^t
dove:
M è il valore futuro (il montante che si riceverà);
i è il tasso di interesse;
t è il numero di periodi su cui si attualizza.
L'unica differenza rispetto all'attualizzazione in regime semplice è l'esponente: t è l'esponente della base (1 + i).
Attualizzazione di più flussi in diversi istanti temporali
Il valore attuale di più flussi in regime composto è:
V0 = F1 / (1 + i)^t1 + F2 / (1 + i)^t2 + F3 / (1 + i)^t3
dove:
t1, t2, t3 sono i periodi che intercorrono tra ciascun flusso e l'istante 0;
F1, F2, F3 sono i flussi in ciascun istante temporale;
i è il tasso di interesse.
Esempio rapido: quanto valgono oggi un flusso di 300 all'anno 1 e un flusso di 250 all'anno 3, con i = 7% in regime composto?
V0 = 300 / (1 + 0,07)^1 + 250 / (1 + 0,07)^3= 484,45€
Mix tra capitalizzazione e attualizzazione
Uno degli aspetti più importanti di questo argomento è che capitalizzazione e attualizzazione non vanno usate sempre da sole: spesso in uno stesso problema vanno usate insieme.
Esempio rapido: Un capitale C₀ è disponibile all'anno 0 e un capitale C₅ sarà disponibile all'anno 5. Si vuole determinare il valore complessivo dei due capitali all'anno 3 in regime composto.
Per farlo:
C₀ va capitalizzato per 3 periodi (dall'anno 0 all'anno 3);
C₅ va attualizzato per 2 periodi (dall'anno 5 all'anno 3).
Il valore cercato all'anno 3, che indichiamo con M₃, è quindi:
M₃ = C₀ · (1 + i)³ + C₅ / (1 + i)²
dove:
con C₀ · (1 + i)³ si applica la formula della capitalizzazione composta;
con C₅ / (1 + i)² si applica la formula dell'attualizzazione composta.
Esempio numerico completo
Di seguito è riportato un esercizio completo che integra tutti i concetti esposti in precedenza nell'articolo e negli articoli precedenti.
Traccia: Tre capitali vengono depositati rispettivamente alla fine del primo, del secondo e del terzo anno:
C₁ = 380 € (fine anno 1)
C₂ = 520 € (fine anno 2)
C₃ = 1.080 € (fine anno 3)
Dato un tasso di interesse del 4% in regime composto, determinare il valore equivalente dei tre capitali nei seguenti momenti:
alla fine del terzo anno (M₃)
oggi, cioè all'anno 0 (V₀)
alla fine del secondo anno (V₂).
Suggerimento: prima dello svolgimento: disegnare la linea del tempo
Collocare i tre flussi sull'asse temporale a t = 1, t = 2 e t = 3, e individuare i tre momenti di riferimento richiesti (t = 0, t = 2, t = 3).
Punto 1 dell'esercizio: trovare il valore al termine dell'anno 3 (M₃)
Dobbiamo portare tutti i flussi allo stesso istante temporale: l'anno 3.
Il flusso di 380 deve fare 2 salti avanti (da anno 1 ad anno 3);
Il flusso di 520 deve fare 1 salto avanti (da anno 2 ad anno 3);
Il flusso di 1.080 è già all'anno 3, quindi non va toccato.
Utilizzando la formula della capitalizzazione composta:
M₃ = 380 · (1 + 0,04)^2 + 520 · (1 + 0,04)^1 + 1.080
M₃ = 411,01 + 540,80 + 1.080 = 2.031,81€
Punto 2 dell'esercizio: trovare il valore all'anno 0 (V₀)
Esistono due metodi per risolvere questo punto:
Metodo 1: attualizzare ogni flusso singolarmente
Portiamo ciascun flusso in zero con la formula dell'attualizzazione di più flussi in regime composto:
V₀= 380 / (1,04)^1 + 520 / (1,04)^2 + 1.080 / (1,04)^3
V₀ = 365,38 + 480,79 + 960,10 = 1.806,27€
Metodo 2: attualizzare il montante trovato al punto 1
Sappiamo già che i tre flussi valgono 2.031,81 all'anno 3.
Possiamo attualizzare direttamente quel valore di 3 periodi:
V₀ = 2.031,81 / (1,04)^3 = 2.031,81 / 1,1249 = 1.806,27€
Stesso risultato. Puoi usare il metodo che preferisci: entrambi sono corretti.
Punto 3 dell'esercizio: trovare il valore alla fine del secondo anno (V₂)
Per trovare il valore dei tre flussi all'anno 2, anche qui hai più opzioni.
Metodo 1: attualizzare il montante trovato al punto 1 di un periodo
V₂ = 2.031,81 / (1,04)^1 = 2.031,81 / 1,04 = 1.953,66€
Metodo 2: partire dal valore in zero (1.806,27) trovato al punto 2 e capitalizzarlo di 2 periodi
V₂ = 1.806,27 · (1,04)^2 = 1.806,27 · 1,0816 = 1.953,66€
Stesso risultato in entrambi i casi.
Errori tipici sull'attualizzazione
Sommare somme di denaro in periodi diversi
Con riferimento all'esempio numerico completo, non si può mai fare 380 + 520 + 1.080 direttamente, perché questi tre valori si trovano in anni diversi. Bisogna prima portarli allo stesso anno e solo dopo sommarli.
Confondere il numero di "salti" da fare
Quando si attualizza, è fondamentale contare bene quanti periodi separano il flusso dal momento di "arrivo". Se il flusso è all'anno 3 e si deve portare all'anno 0, bisogna fare 3 salti, non 2 o 1. E' quindi importante disegnare sempre la linea del tempo.
Confondere la direzione dell'operazione
Capitalizzare significa moltiplicare per la funzione di capitalizzazione (si va avanti nel tempo).
Attualizzare significa dividere per la funzione di capitalizzazione (si va indietro nel tempo). Se si sbaglia direzione, il risultato sarà sempre sbagliato.
Non riconoscere i problemi "misti"
Molti esercizi non sono puri di capitalizzazione o pura attualizzazione, ma un mix.
Bisogna sempre capire, per ogni flusso, se si trova prima o dopo il momento di riferimento. Se è prima, quel flusso si capitalizza; se è dopo, si attualizza.
Usare indiscriminatamente le formule del regime composto per il semplice e viceversa
In capitalizzazione semplice l'esponente non è presente (t moltiplica i), in quella composta t è l'esponente. Confondere i due regimi porta a risultati completamente errati.
Domande frequenti
Domanda: Cos'è l'attualizzazione?
Risposta: È l'operazione che permette di trovare il valore odierno di una somma di denaro che si riceverà in futuro, tenendo conto del tasso di interesse e del tempo che intercorre.
Domanda: Qual è la differenza tra capitalizzazione e attualizzazione?
Risposta: La capitalizzazione porta un valore presente verso il futuro (si moltiplica per la funzione di capitalizzazione).
L'attualizzazione porta un valore futuro verso il presente (si divide per la stessa funzione).
Domanda: Qual è il regime più usato per l'attualizzazione?
Risposta: La capitalizzazione composta è quella che si usa in quasi tutti i contesti pratici, soprattutto in finanza aziendale per valutare obbligazioni, azioni e progetti d'investimento.
Domanda: Cosa si fa quando ci sono più flussi in periodi diversi?
Risposta: Si attualizza ogni flusso separatamente portandolo al momento di riferimento scelto (di solito oggi, cioè anno 0) e poi si sommano i valori ottenuti.
Domanda: Posso sommare direttamente i flussi se sono in anni diversi?
Risposta: No. È una delle regole fondamentali della matematica finanziaria: non si sommano mai somme di denaro che si trovano in periodi diversi. Bisogna prima portarle tutte allo stesso momento.
Come usare questa guida per preparare l'esame
Per sfruttare al meglio questo articolo in ottica esame, conviene seguire un ordine logico preciso.
Fissa bene la teoria di base
Prima ancora delle formule, è fondamentale avere chiara la direzione: l'attualizzazione porta sempre verso il passato (verso oggi), mentre la capitalizzazione porta verso il futuro.
Memorizza le due formule, una per regime
Attualizzazione in regime semplice: C = M / (1 + i · t)
Attualizzazione in regime composto: C = M / (1 + i)^t
Il modo migliore per memorizzarle è non impararle "a memoria", ma capire che in tutti e tre i casi si sta semplicemente invertendo la formula della capitalizzazione.
Disegna sempre la linea del tempo
Prima di fare qualsiasi calcolo, è importante disegnare la linea del tempo con tutti i flussi.
In questo modo si vede immediatamente quanti salti deve fare ogni flusso e se occorre capitalizzare o attualizzare. Senza la linea del tempo è molto facile sbagliare il numero di periodi.
Allenati sui problemi misti
I problemi più comuni negli esercizi e agli esami non sono né pura capitalizzazione né pura attualizzazione, ma un mix. Esercitati su esempi in cui devi portare alcuni flussi avanti e altri indietro nello stesso esercizio.
Verifica sempre con più metodi
Come visto nell'esempio numerico, spesso ci sono più vie per arrivare allo stesso risultato. E' sempre consigliabile quindi usare un metodo alternativo per verificare il risultato: se coincide, il ragionamento è corretto.
Guarda il video sull'attualizzazione
Nel video dedicato all'attualizzazione trovi:
la spiegazione intuitiva di cosa significa "andare indietro nel tempo" e perché l'attualizzazione è l'inverso della capitalizzazione;
le formule passo passo per i due regimi: attualizzazione semplice, attualizzazione composta;
la regola fondamentale del divieto di sommare somme in periodi diversi e come applicarla.
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Francesca Palmieri – Responsabile Formazione Tutor LGEducation
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