Teoria della produzione: da dove si parte e cosa cambia rispetto al consumatore
- Lorenzo
- 3 mar
- Tempo di lettura: 9 min
Nella prima parte del corso hai visto la teoria del consumatore: un individuo che vuole massimizzare la propria utilità scegliendo quanto consumare di due beni, con un vincolo di bilancio.
Nella teoria della produzione il protagonista cambia: al posto del consumatore c’è l’impresa, e l’obiettivo non è più massimizzare l’utilità ma produrre un certo output minimizzando i costi.
Il parallelismo però è fortissimo:
al posto dei beni X1 e X2 hai i fattori produttivi lavoro (L) e capitale (K);
al posto della funzione di utilità hai una funzione di produzione;
al posto della curva di indifferenza hai l’isoquanto;
al posto del vincolo di bilancio hai l’isocosto.
Se ti è chiara la teoria del consumatore, la teoria della produzione scorre via abbastanza liscia: cambiano i nomi delle variabili, ma la logica di tangenza e vincoli è la stessa.
Indice:
Due fattori produttivi: lavoro e capitale, breve e lungo periodo
Nel modello base consideriamo due fattori produttivi:
L = lavoro,
K = capitale.
Differenza importante tra breve e lungo periodo:
nel breve periodo il lavoro L è variabile, il capitale K è fisso (il testo ti dice per esempio K = 3);
nel lungo periodo sia lavoro che capitale sono variabili: l’impresa può aggiustare entrambi i fattori.
Questo riflette bene la realtà:
assumere o licenziare lavoratori è relativamente rapido;
comprare o vendere macchinari o impianti richiede più tempo e pianificazione.
La funzione di produzione F(L, K) ti dice quante unità di output Q ottieni dato un certo uso di L e K. Esempi tipici:
Cobb‑Douglas: Q = L^α K^β,
perfetti sostituti: Q = αL + βK,
perfetti complementi: Q = min{αL, βK}.
Isoquanti: “curve di indifferenza” della produzione
Isoquanti: “curve di indifferenza” della produzione.
Un isoquanto è l’insieme di tutte le combinazioni di lavoro e capitale che permettono di produrre la stessa quantità di output Q.
Ogni isoquanto corrisponde a un livello di produzione (per esempio Q = 10, Q = 20, ecc.).
Più ti sposti “verso l’alto a destra” nel piano (L, K), più l’isoquanto rappresenta livelli di output maggiori.
La forma dell’isoquanto dipende dalla funzione di produzione:
Cobb‑Douglas: isoquanti convessi verso l’origine (come le curve di indifferenza);
perfetti sostituti: linee rette;
perfetti complementi: angoli a “L”.
Parallelismo con il consumatore:
prima avevi X1 e X2 nelle curve di indifferenza;
ora hai L e K negli isoquanti;
prima l’utilità era costante lungo la curva;
ora l’output Q è costante lungo l’isoquanto.
Produttività marginale e saggio marginale di sostituzione tecnica
Per capire come l’impresa può sostituire lavoro e capitale servono due concetti chiave: produttività marginale e saggio marginale di sostituzione tecnica.
Produttività marginale del lavoro (MPL):
di quanto aumenta l’output se aumento il lavoro di 1 unità, tenendo il capitale fisso;
è la derivata della funzione di produzione rispetto a L.
Produttività marginale del capitale (MPK):
di quanto aumenta l’output se aumento il capitale di 1 unità, tenendo il lavoro fisso;
è la derivata della funzione di produzione rispetto a K.
Saggio marginale di sostituzione tecnica (SMST o MRTS):
misura di quanto posso ridurre il capitale K aumentando di 1 unità il lavoro L, mantenendo costante l’output;
è dato da: MRTS = MPL / MPK.
È l’esatto analogo del saggio marginale di sostituzione nella teoria del consumatore:
lì era la pendenza della curva di indifferenza;
qui è la pendenza dell’isoquanto.
Rendimenti di scala: cosa succede se aumento tutti i fattori
Con la produttività marginale guardi cosa succede se aumenti un solo input tenendo l’altro fisso.
Con i rendimenti di scala guardi invece cosa succede se aumenti entrambi gli input nella stessa proporzione. Se moltiplichi L e K per un numero λ > 1, hai tre casi:
Rendimenti di scala costanti: se raddoppi L e K, l’output raddoppia.
Rendimenti di scala crescenti: se raddoppi L e K, l’output più che raddoppia.
Rendimenti di scala decrescenti: se raddoppi L e K, l’output aumenta ma meno che in proporzione.
In simboli:
prendendo Q = F(L, K) e guardando F(λL, λK):
se F(λL, λK) = λF(L, K) → costanti;
se F(λL, λK) > λF(L, K) → crescenti;
se F(λL, λK) < λF(L, K) → decrescenti.
Scorciatoia per le funzioni Cobb‑Douglas:
se Q = L^α K^β:
α + β = 1 → rendimenti costanti;
α + β > 1 → rendimenti crescenti;
α + β < 1 → rendimenti decrescenti.
Isocosto: il “vincolo di bilancio” dell’impresa
L’isocosto raccoglie tutte le combinazioni di L e K che comportano lo stesso costo totale TC.
Se:
w è il salario (costo per unità di lavoro),
r è il costo per unità di capitale (tasso di interesse, costo del macchinario),
allora il costo totale è:
TC = wL + rK.
Per disegnare l’isocosto in un grafico con L sull’asse orizzontale e K su quello verticale, riscrivi:
TC – wL = rK
K = (TC / r) – (w / r) L.
intercetta su K: TC / r (se L = 0, tutto il costo è capitale),
pendenza: –w / r (quanto capitale devi ridurre se aumenti L di 1 e vuoi mantenere lo stesso costo).
Minimizzazione dei costi nel lungo periodo (Cobb‑Douglas)
Nel lungo periodo sia L sia K sono variabili: l’impresa può scegliere liberamente la combinazione ottima di fattori per produrre un certo output Q al minimo costo.
Graficamente:
isoquanti: combinazioni L, K che danno lo stesso output Q;
isocosto: combinazioni L, K che danno lo stesso costo totale.
Il punto di minimo costo per un dato Q è il punto in cui:
l’isoquanto del livello Q è tangente all’isocosto più basso possibile.
Condizione di tangenza:
pendenza isoquanto = pendenza isocosto,
cioè MRTS = w / r,
quindi MPL / MPK = w / r.
Per una Cobb‑Douglas si imposta un sistema:
Caso 1 – il testo ti dà la quantità da produrre (più frequente):
Condizione di tangenza: MPL / MPK = w / r
Funzione di produzione: Q* = F(L, K)
Caso 2 – il testo ti dà il costo massimo da spendere:
Condizione di tangenza: MPL / MPK = w / r
Isocosto: TC* = wL + rK.script.docx+1
Da questo sistema trovi L* e K* che minimizzano i costi nel lungo periodo.
Esempio numerico: Cobb‑Douglas e minimizzazione dei costi
Considera la funzione di produzione:
Q = 2√(L K) = 2 L^0,5 K^0,5
con:
salario w = 25,
costo del capitale r = 36,
output desiderato Q = 60.
Calcoliamo MPL e MPK e il MRTS:
MPL = derivata di Q rispetto a L
K^0,5 / L^0,5
MPK = derivata di Q rispetto a K
L^0,5 / K^0,5
MRTS = MPL / MPK
(K^0,5 / L^0,5) / (L^0,5 / K^0,5)
K / L.
Condizione di tangenza:
MRTS = w / r → K / L = 25 / 36
K = (25/36) L.
Siccome la funzione di produzione con Q = 60:
60 = 2 L^0,5 K^0,5.
Sostituendo K:
60 = 2 L^0,5 ( (25/36)L )^0,5
60 = 2 L^0,5 (5/6) L^0,5
60 = 2 (5/6) L
60 = (10/6) L
60 = (5/3) L
L* = 60 * (3/5)
L* = 36.
Poi:
K* = (25/36) L*
K* = (25/36) * 36
K* = 25.
Quindi, per produrre 60 unità al minimo costo:
lavoro ottimo L* = 36,
capitale ottimo K* = 25.
Perfetti sostituti e perfetti complementi nella produzione
Come nella teoria del consumatore, anche nella produzione devi riconoscere la forma della funzione e applicare le regole giuste.
Perfetti sostituti:
funzione di produzione: Q = αL + βK;
isoquanti: linee rette;
l’impresa usa solo il fattore relativamente più conveniente.
La decisione si basa sul confronto tra produttività e costo:
se MPL / w > MPK / r → il lavoro è più produttivo per euro speso → usa solo lavoro (K = 0);
se MPL / w < MPK / r → usa solo capitale (L = 0);
se MPL / w = MPK / r → è indifferente e qualunque combinazione lungo l’isoquanto va bene.
Perfetti complementi:
funzione di produzione: Q = min{αL, βK};
isoquanti: angoli a L;
output determinato dal fattore “collo di bottiglia”.
L’ottimo sta sempre sul punto d’angolo, cioè sulla retta:αL = βK.
Per minimizzare i costi di solito fai un sistema:
retta dei punti d’angolo: αL = βK;
funzione di produzione (se il vincolo è sull’output) oppure isocosto (se il vincolo è sulla spesa massima).
Minimizzazione dei costi nel breve periodo
Nel breve periodo il capitale K è fisso (per esempio K = 7), quindi l’unico fattore variabile è il lavoro L.
Metodo:
Sostituisci il valore di K fisso dentro la funzione di produzione:
esempio: Q = L^0,5 K^0,5 con K = 7 → Q = L^0,5 * 7^0,5.
Risolvi rispetto a L:
Q = L^0,5 7^0,5
L^0,5 = Q / 7^0,5
L = Q^2 / 7.
Se il testo ti dice quanto deve essere Q, ottieni direttamente L*:
se Q = 7, L* = 7^2 / 7 = 7.
A questo punto puoi scrivere la funzione di costo di breve periodo:
TC(Q) = wL(Q) + r K̅ (fisso)
nell’esempio: TC(Q) = w (Q^2 / 7) + r 7.
Se w = 5 e r = 10 e Q = 7:
costo minimo per produrre 7 unità:
TC = 5 7 + 10 7 = 35 + 70 = 105.
Riassumendo:
lungo periodo: TC = wL* + rK* (entrambi scelti ottimali);
breve periodo: TC = wL(Q) + r K̅ (K è fissato dal testo, L dipende da Q).
Errori comuni sulla teoria della produzione
Pensare che isoquanti e curve di indifferenza siano cose totalmente diverse: in realtà cambiano solo i nomi, la struttura matematica è identica.
Confondere produttività marginale e rendimenti di scala: MPL/MPK guardano un solo input alla volta, i rendimenti di scala guardano entrambi gli input che cambiano insieme.
Dimenticare che nel breve periodo il capitale è fisso: se tratti K come variabile nel breve, sbagli sia la funzione di produzione sia la funzione di costo.
Non usare la condizione di tangenza: per Cobb‑Douglas l’ottimo non si trova “a occhio”, ma con MRTS = w/r più il vincolo (produzione o costo).
Applicare le regole di Cobb‑Douglas a perfetti sostituti e complementi: con quei casi devi usare i criteri ad hoc (confronto tra MPL/w e MPK/r, retta αL = βK).
Come usare questa teoria per l’esame
Per essere pronto sulla teoria della produzione, assicurati di saper fare queste cose:
Riconoscere il tipo di funzione di produzione (Cobb‑Douglas, perfetti sostituti, perfetti complementi) dalla formula.
Disegnare isoquanti e isocosti e spiegare cosa rappresentano.
Calcolare MPL, MPK e MRTS e impostare la condizione MRTS = w/r.
Trovare L* e K* in esercizi di minimizzazione dei costi nel lungo periodo con Cobb‑Douglas.
Lavorare con il breve periodo: sostituire K fisso, esprimere L in funzione di Q e scrivere la funzione di costo.
Classificare i rendimenti di scala guardando F(λL, λK) oppure, con Cobb‑Douglas, la somma degli esponenti.
Se padroneggi questi passaggi, puoi gestire sia i tipici esercizi di produzione in micro 1 che quelli di costo/offerta nelle parti successive del corso.
Domande frequenti sulla teoria della produzione
Perché nel breve periodo il capitale è fisso e il lavoro no? Perché in molte situazioni reali modificare il numero di lavoratori è relativamente rapido, mentre variazioni dell’impianto produttivo (capitale) richiedono più tempo e investimenti, quindi si considerano fisse nel breve periodo.
Che differenza c’è tra isoquanto e isocosto? L’isoquanto raccoglie tutte le combinazioni di L e K che producono lo stesso output; l’isocosto raccoglie tutte le combinazioni di L e K che hanno lo stesso costo totale. Il loro punto di tangenza dà la combinazione a costo minimo per un dato livello di output.
Come capisco se ho rendimenti di scala crescenti o decrescenti? Controlli cosa succede a F(λL, λK): se aumenta più che proporzionalmente rispetto a λ hai rendimenti crescenti, se aumenta meno che proporzionalmente hai rendimenti decrescenti; con Cobb‑Douglas basta guardare la somma degli esponenti.
Perché serve il saggio marginale di sostituzione tecnica? Perché ti dice in che rapporto conviene sostituire lavoro con capitale lungo l’isoquanto: al punto ottimo questo rapporto deve essere coerente con il rapporto dei prezzi dei fattori, cioè con w/r.
Cosa cambia, a livello di metodo, rispetto alla teoria del consumatore? Nulla di sostanziale: al posto di MRS = P1/P2 con vincolo di bilancio, hai MRTS = w/r con vincolo di produzione o di costo; cambiano nomi e contesto, ma la logica dei sistemi è identica.
Guarda la spiegazione video sulla teoria della produzione
Nel video collegato a questo capitolo vedrai:
parallelismo completo tra teoria del consumatore e teoria della produzione,
definizione e interpretazione di isoquanti, produttività marginale, MRTS e rendimenti di scala,
costruzione dell’isocosto a partire da TC = wL + rK,
minimizzazione dei costi nel lungo periodo con Cobb‑Douglas e con perfetti sostituti/complementi,
un esercizio di breve periodo con K fisso, funzione di costo e costo minimo per un dato Q.
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Author bio
Lorenzo Giacomelli – Fondatore LGEducation
Nel 2023 ho creato LGEducation, la prima azienda in Italia specializzata nell’aiutare studenti universitari con i loro esami di economia e finanza, 100% online. Aiutiamo gli studenti con lezioni private e videocorsi, e ci piace dare tanto valore con risorse gratuite: video su YouTube, appunti scaricabili e articoli come questo.
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