Teoria dei giochi: guida completa con esempi e equilibri di Nash
- Lorenzo
- 8 apr
- Tempo di lettura: 8 min
Aggiornamento: 15 apr
La teoria dei giochi studia situazioni in cui due o più soggetti prendono decisioni i cui risultati dipendono anche dalle decisioni degli altri.
È un argomento centrale in microeconomia perché aiuta a capire come si comportano imprese, consumatori e altri agenti quando le scelte sono interdipendenti.
In questa guida vediamo prima i concetti base, poi il gioco simultaneo, il gioco sequenziale e infine alcuni esercizi tipici, tra cui il dilemma del prigioniero e un esempio con entrata nel mercato.
Indice:
Che cos’è la teoria dei giochi
La teoria dei giochi analizza situazioni strategiche in cui il risultato finale non dipende solo dalla tua scelta, ma anche da quella degli altri.
Ogni soggetto prende decisioni tenendo conto del comportamento altrui, quindi non basta scegliere l’opzione “migliore” in senso assoluto: bisogna considerare cosa faranno gli altri.
Gli elementi fondamentali sono:
i giocatori, cioè i soggetti che prendono le decisioni;
le strategie, cioè le azioni possibili;
i payoff, cioè i risultati finali ottenuti da ciascun giocatore.
Esempi classici sono:
sasso, carta, forbice;
scacchi;
concorrenza tra imprese;
ingresso di una nuova impresa in un mercato già occupato.
Giochi simultanei e sequenziali
I giochi si distinguono principalmente in simultanei e sequenziali.
Nel gioco simultaneo i giocatori scelgono nello stesso momento, senza sapere in anticipo la scelta dell’altro. Un esempio classico è sasso, carta, forbice.
Nel gioco sequenziale, invece, i giocatori si muovono uno dopo l’altro. Un esempio tipico sono gli scacchi, dove ogni mossa dipende da quella precedente.
Questa distinzione è importante perché cambia il modo in cui si risolve il problema strategico.
La matrice dei payoff
Nei giochi simultanei si usa spesso una matrice dei payoff. È una tabella che mostra, per ogni combinazione di strategie, il risultato finale per i due giocatori.
La regola da ricordare è semplice:
il primo numero del payoff è quello del giocatore 1;
il secondo numero è quello del giocatore 2.
Per esempio, se in una casella troviamo (3, 4), significa che:
il giocatore 1 ottiene 3;
il giocatore 2 ottiene 4.
La matrice serve per capire quali sono le migliori risposte dei giocatori e per trovare l’equilibrio di Nash.
Strategia dominante
Una strategia dominante è una strategia che conviene scegliere indipendentemente da ciò che fa l’altro giocatore. In altre parole, qualunque sia la mossa dell’avversario, quella strategia dà sempre un payoff migliore delle alternative.
Se un giocatore ha una strategia dominante, la sua scelta diventa molto semplice: sceglie sempre quella strategia.
Esempio intuitivo:
se con una certa strategia ottengo sempre un payoff maggiore rispetto alle altre, allora quella strategia domina le altre;
se anche l’altro giocatore ha una strategia dominante, il problema si semplifica molto.
Come nell'immagine precedente, per il giocatore 2 la strategia A domina la strategia B perché 4>3 (se il giocatore 1 scegliesse A) e 3>2 (se il giocatore 1 scegliesse B).
Equilibrio di Nash
L’equilibrio di Nash è una combinazione di strategie in cui ciascun giocatore sta scegliendo la propria miglior risposta alla strategia dell’altro.
Nessuno ha convenienza a cambiare da solo la propria scelta, dato quello che fanno gli altri.
In pratica:
ogni giocatore fa il meglio possibile dato il comportamento altrui;
non esiste un incentivo unilaterale a deviare.
Come si arriva all'equilibrio di Nash:
Se il giocatore 1 sceglie A, al giocatore 2 conviene A perché 4>3: sottolineo 4
Se il giocatore 1 sceglie B, al giocatore 2 conviene A perché 3>2: sottolineo 3
Se il giocatore 2 sceglie A, al giocatore 1 conviene B perché 4>3: sottolineo 4
Se il giocatore 2 sceglie B, al giocatore 1 conviene B perché 3>2: sottolineo 3
L'equilibrio di Nash è dove ho "entrambi i numeri sono sottolineati" (è un metodo "scorciatoia" per arrivare all'equilibrio di Nash).
Equilibrio dominante
Quando l’equilibrio di Nash deriva dal fatto che entrambi i giocatori hanno una strategia dominante, si parla di equilibrio in strategie dominanti.
Questo è un caso molto semplice di equilibrio, perché ogni giocatore sceglie la propria strategia dominante senza dover fare calcoli complessi.
Come nel caso dell'immagine precedente, l'equilibrio di Nash è anche un equilibio Dominante perchè deriva da due strategie dominanti: la strategia B per il giocatore 1 e la strategia A per il giocatore 2.
Ottimo paretiano
L’ottimo paretiano è una situazione in cui non è possibile migliorare il payoff di un giocatore senza peggiorare quello dell’altro.
Tradotto in modo pratico:
se da una certa allocazione posso spostarmi in un’altra casella migliorando almeno uno dei due payoff senza danneggiare nessuno, allora la situazione iniziale non era Pareto efficiente;
se invece non esiste alcuno spostamento di questo tipo, allora siamo in un ottimo paretiano.
Importante:
l’equilibrio di Nash non coincide sempre con l’ottimo paretiano;
un equilibrio può essere stabile dal punto di vista strategico ma inefficiente dal punto di vista collettivo.
Nell'immagine precedente l'equilibrio di Nash è anche un equilibrio paretiano, perchè non posso spostarmi da quella combinazione migliorando il payoff di uno senza peggiorare il payoff dell'altro. Se ci fai caso, come il giocatore 1 si muove da quella casella, otterrà sempre un payoff minore di 4.
Eliminazione iterata delle strategie dominate
Un altro metodo utile per risolvere i giochi è l’eliminazione iterata delle strategie dominate.
Il procedimento è questo:
individua per ogni giocatore le strategie dominate;
elimina quelle che non convengono mai;
ripeti il procedimento finché resta una sola combinazione possibile o una matrice molto semplificata.
Se una strategia è sempre peggiore di un’altra, può essere eliminata subito. Questo metodo è molto utile negli esercizi perché riduce rapidamente il numero di casi da analizzare.
Esempio 1: il dilemma del prigioniero
Il dilemma del prigioniero è il gioco più famoso della teoria dei giochi.
La situazione è questa:
due persone vengono interrogate separatamente;
ciascuna può confessare o non confessare;
i payoffs dipendono dalle scelte di entrambi.
Nel classico dilemma:
se entrambi non confessano, prendono un anno di carcere ciascuno;
se entrambi confessano, prendono sei anni ciascuno;
se uno confessa e l’altro no, chi confessa esce subito, chi non confessa prende nove anni.
Come si risolve:
se il primo non confessa, al secondo conviene confessare;
se il primo confessa, al secondo conviene ancora confessare;
lo stesso vale simmetricamente per il primo giocatore.
Quindi la strategia dominante per entrambi è confessare.
Conclusione:
l’equilibrio di Nash è confessare–confessare;
ma questo equilibrio non è Pareto efficiente, perché entrambi starebbero meglio se non confessassero.
Questo è il motivo per cui il dilemma del prigioniero è così importante: mostra che razionalità individuale e benessere collettivo non coincidono sempre.
Esempio 2: ingresso nel mercato
Un altro esercizio classico riguarda un’impresa monopolista e un potenziale entrante.
Le strategie sono:
per l’entrante: entrare oppure non entrare;
per il monopolista: mantenere prezzi alti oppure fare guerra di prezzo abbassandoli.
In un caso tipico, la matrice dei payoff mostra che:
se il monopolista mantiene prezzi alti, l’entrante può guadagnare entrando;
se il monopolista abbassa i prezzi, l’entrante rischia di perdere profitto;
se l’entrante non entra, il monopolista mantiene i suoi profitti normali.
In un gioco simultaneo possono esistere più equilibri di Nash. In un gioco sequenziale, invece, conta l’ordine delle mosse e si usa la backward induction.
Giochi sequenziali e backward induction
Nei giochi sequenziali i giocatori si muovono uno dopo l’altro, quindi bisogna ragionare partendo dall’ultima decisione.
Il metodo per risolverlo si chiama backward induction:
si parte dall’ultima mossa disponibile;
si capisce quale scelta è migliore per quel giocatore;
si risale poi alla mossa precedente;
si continua fino all’inizio del gioco.
Questo metodo è molto utile nei giochi in forma ad albero.
Esempio:
se il monopolista muove dopo l’entrante, prima si guarda cosa farà il monopolista in ciascuna diramazione;
poi l’entrante, sapendo questo, decide se entrare o no.
Nel nostro esempio:
nella parte alta, al giocatore 2 conviene O perchè 3>0: tolgo P
nella parte bassa, al giocatore 2 conviene P perchè 2>1: tolgo O
il giocatore 1 deve scegliere tra O, finendo con un payoff di 2, o scegliere P, finendo con un payoff di 3: ovviamente scelgie P, eliminiamo O
Trovato l'equilibrio.
Differenza tra equilibrio di Nash e soluzione sequenziale
Nel gioco simultaneo l’equilibrio si cerca nella matrice dei payoff, mentre nel gioco sequenziale si ragiona nell’albero delle decisioni.
Differenza chiave:
nell’equilibrio di Nash nessuno ha convenienza a cambiare da solo la strategia;
nella backward induction si parte dall’ultima mossa e si trova la scelta ottimale passo dopo passo.
In alcuni casi i due metodi portano allo stesso risultato, ma la logica per arrivarci è diversa.
Come risolvere gli esercizi
Quando hai un esercizio di teoria dei giochi, segui questo schema:
Identifica i giocatori.
Scrivi le strategie possibili di ciascuno.
Costruisci la matrice dei payoff o l’albero, se il gioco è sequenziale.
Cerca eventuali strategie dominanti.
Individua l’equilibrio di Nash.
Controlla se l’equilibrio è anche Pareto efficiente.
Se il gioco è sequenziale, usa la backward induction.
Questo ordine riduce molto gli errori.
Errori tipici sulla teoria dei giochi
Confondere payoff e strategie
Le strategie sono le azioni possibili, mentre i payoff sono i risultati finali.
Non sono la stessa cosa.
Leggere male la matrice
Ricorda sempre che il primo numero del payoff è per il giocatore 1 e il secondo per il giocatore 2.
Scambiare equilibrio di Nash e ottimo paretiano
Un equilibrio di Nash può essere stabile ma inefficiente. Non sono concetti equivalenti.
Dimenticare la strategia dominante
Se un giocatore ha una strategia dominante, quella semplifica subito il problema.
Usare la matrice anche nei giochi sequenziali
Se il gioco è sequenziale, spesso è meglio disegnare l’albero e usare la backward induction.
Domande frequenti sulla teoria dei giochi
Domanda: Che cos’è la teoria dei giochi?
Risposta: È lo studio di situazioni in cui due o più soggetti prendono decisioni i cui risultati dipendono anche dalle scelte degli altri.
Domanda: Cos’è un gioco simultaneo?
Risposta: È un gioco in cui i giocatori scelgono nello stesso momento, senza conoscere in anticipo la scelta degli altri.
Domanda: Cos’è un gioco sequenziale?
Risposta: È un gioco in cui i giocatori muovono uno dopo l’altro, e ogni scelta dipende da quella precedente.
Domanda: Che cos’è una strategia dominante?
Risposta: È una strategia che conviene scegliere indipendentemente da ciò che fa l’altro giocatore.
Domanda: Che cos’è l’equilibrio di Nash?
Risposta: È una situazione in cui nessun giocatore ha convenienza a cambiare da solo la propria strategia, dato il comportamento altrui.
Domanda: Che cos’è l’ottimo paretiano?
Risposta: È una situazione in cui non si può migliorare il payoff di un giocatore senza peggiorare quello dell’altro.
Domanda: A cosa serve la backward induction?
Risposta: Serve a risolvere i giochi sequenziali partendo dall’ultima mossa e risalendo indietro fino all’inizio.
Guarda il video sulla discriminazione di prezzo
Nel video dedicato alla teoria dei giochi vedrai:
definizione e logica dei giochi strategici;
distinzione tra giochi simultanei e sequenziali;
matrice dei payoff ed equilibrio di Nash;
strategia dominante, ottimo paretiano ed eliminazione iterata;
esercizi svolti su dilemma del prigioniero e ingresso nel mercato.
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