Teoria del portafoglio: guida completa con teoria ed esempi
Aggiornamento: 4 set
In questo articolo vediamo la teoria del portafoglio, uno degli argomenti più importanti in finanza, perché fa da ponte verso il CAPM (rendimento atteso, beta) e verso tanti modelli successivi.
L'idea di base è semplice: nella pratica un investitore raramente possiede un solo titolo, ma un insieme (portafoglio) di titoli.
La domanda diventa quindi: come si calcola il rendimento atteso di un portafoglio? E soprattutto, come si calcola il suo rischio, sapendo che mettere insieme più titoli offre un vantaggio fondamentale, ossia la diversificazione?
In questa guida vediamo il rendimento e il rischio di portafoglio, il ruolo del fattore di correlazione, la frontiera efficiente, il minimum variance portfolio, la Capital Market Line e lo Sharpe ratio, fino ad arrivare al concetto di portafoglio ottimo.
Indice:
Il rendimento di un portafoglio
Il rendimento atteso di un portafoglio è semplicemente la media ponderata dei rendimenti attesi dei singoli titoli che lo compongono, dove i pesi sono le quote investite in ciascun titolo.
In formula:
E(Rp) = wA · E(RA) + wB · E(RB)
dove:
wA e wB sono i pesi investiti nei titoli A e B (con wA + wB = 1);
E(RA) e E(RB) sono i rendimenti attesi dei due titoli.
Esempio: se il titolo A ha un rendimento atteso del 6,80% e pesa il 40% del portafoglio, mentre il titolo B ha un rendimento atteso del 5,40% e pesa il 60%, allora:
E(Rp) = 0,40 × 6,80% + 0,60 × 5,40% = 2,72% + 3,24% = 5,96%
Il calcolo, quindi, è semplice: basta una media ponderata dei rendimenti
Il rischio di un portafoglio e la diversificazione
Qui arriva il punto più importante e più delicato dell'argomento: il rischio di un portafoglio NON è la media ponderata dei rischi dei singoli titoli.
Questo perché, mettendo insieme due titoli, si ottiene quasi sempre un vantaggio dalla diversificazione: il rischio complessivo tende a essere inferiore rispetto a una semplice media ponderata dei rischi individuali (a meno che i due titoli non si muovano esattamente allo stesso modo).
La formula corretta per il rischio (deviazione standard) di un portafoglio composto da due titoli è:
σp =√ [ wA² · σA² + wB² · σB² + 2 · wA · wB · σA · σB · ρAB]
dove:
σA e σB sono le deviazioni standard (rischi) dei due titoli;
wA e wB sono i pesi nel portafoglio;
ρAB è il fattore di correlazione tra i due titoli.
Covarianza e fattore di correlazione
Per capire come due titoli "si muovono insieme" servono due concetti collegati: la covarianza e il fattore di correlazione.
Covarianza: Indica solo la direzione del movimento tra due titoli. Se è positiva, i titoli si muovono nella stessa direzione (crescono o calano insieme); se è negativa, si muovono in direzioni opposte.
Fattore di correlazione: È un indicatore che va da –1 a +1 e indica sia la direzione sia l'intensità del movimento tra due titoli.
Si calcola come:
ρAB = Cov(A,B) / (σA · σB)
Interpretazione dei valori estremi:
ρAB = 1: i due titoli si muovono esattamente allo stesso ritmo. In questo caso non c'è alcun vantaggio dalla diversificazione: sia il rendimento sia il rischio del portafoglio diventano semplici medie ponderate, e la combinazione tra i due titoli è rappresentata da una linea retta.
ρAB = –1: i due titoli si muovono in modo perfettamente opposto. In questo caso, scegliendo i pesi giusti, è possibile costruire un portafoglio con rendimento positivo e rischio pari a zero.
0 < ρAB < 1 (caso più realistico): esiste un vantaggio dalla diversificazione, anche se non estremo. Le combinazioni possibili tra i due titoli formano una curva "a pancia" nel grafico rendimento-rischio.
La frontiera efficiente
Se rappresentiamo su un grafico tutte le possibili combinazioni tra due titoli rischiosi A e B (con correlazione tra 0 e 1), otteniamo una curva a forma di convessa.
Il punto chiave è questo: per ogni livello di rischio, esistono generalmente due combinazioni possibili di A e B che danno quel rischio, ma con rendimenti diversi.
Un investitore razionale sceglierà sempre la combinazione con il rendimento più alto a parità di rischio.
La parte "alta" della curva, quella con il rendimento migliore per ogni livello di rischio, si chiama frontiera efficiente.
La parte "bassa" della curva non viene mai scelta, perché per lo stesso rischio si potrebbe ottenere un rendimento maggiore restando sulla frontiera.
Il punto che separa la frontiera efficiente dalla parte non efficiente è il portafoglio con il rischio più basso possibile, chiamato minimum variance portfolio (MVP).
Il minimum variance portfolio (MVP)
Il minimum variance portfolio è la combinazione di titoli che minimizza il rischio del portafoglio, indipendentemente dal rendimento ottenuto.
Per un portafoglio con due titoli A e B, il peso da investire in A per ottenere l'MVP si calcola con la formula:
wA = (σB² – ρAB · σA · σB) / (σA² + σB² – 2 · ρAB · σA · σB)
E naturalmente:
wB = 1 – wA
Esempio: con σA = 9,13%, σB = 8,96% e ρAB = 0,823, applicando la formula si ottiene:
wA ≈ 44,70%
wB ≈ 55,30%
Attenzione: trovare l'MVP non significa aver trovato automaticamente il portafoglio migliore in assoluto. È semplicemente il punto di minor rischio, ma potrebbe non offrire il miglior rapporto rendimento-rischio.
Lo Sharpe ratio e la Capital Market Line
Per trovare il portafoglio "migliore", non basta guardare al rischio minimo: bisogna considerare il rapporto tra rendimento in eccesso e rischio, misurato dallo Sharpe ratio:
Sharpe ratio = (Rp – Rf) / σp
dove:
Rp è il rendimento del portafoglio;
Rf è il rendimento del titolo privo di rischio (risk free), tipicamente un titolo di Stato a breve scadenza;
σp è il rischio del portafoglio.
Il numeratore (Rp – Rf) rappresenta il rendimento in eccesso rispetto a quanto si otterrebbe senza correre alcun rischio.
Per trovare il portafoglio ottimo tra i titoli rischiosi, si traccia una retta che parte dal punto risk free (rendimento positivo, rischio zero) ed è tangente alla frontiera efficiente.
Questa retta si chiama Capital Market Line (CML), e la sua pendenza è proprio lo Sharpe ratio.
Il punto di tangenza tra la CML e la frontiera efficiente individua il best risky portfolio (anche detto portafoglio di mercato, se il mercato è efficiente e tutti gli investitori hanno accesso agli stessi titoli) è la combinazione di titoli rischiosi con il miglior rapporto rendimento-rischio possibile.
Combinare risk free e best risk portfolio
Una volta trovato il best risky portfolio, ogni investitore può decidere quanto investire in questo portafoglio rischioso e quanto nel titolo risk free, muovendosi lungo la Capital Market Line.
Il rendimento atteso e il rischio del portafoglio complessivo dell'investitore si calcolano come:
E(Rp) = wp · E(Rrischioso) + (1 – wp) · Rf
σp = wp · σrischioso
dove wp è la percentuale di ricchezza investita nel best risky portfolio.
Se wp < 1, l'investitore investe anche nel risk free: è un investitore più avverso al rischio, e si troverà su un punto della CML tra Rf e il best risky portfolio.
Se wp > 1, l'investitore prende a prestito al tasso risk free per investire più del 100% della propria ricchezza nel portafoglio rischioso: è un investitore più propenso al rischio, e si troverà oltre il best risky portfolio sulla CML.
Quindi la scelta finale del portafoglio dipende dal grado di avversione al rischio dell'investitore, non solo dai dati di mercato.
Esempio numerico
Dati
Un investitore ha a disposizione:
titolo A con rendimento atteso 6,80% e rischio σA = 9,13%;
titolo B con rendimento atteso 5,40% e rischio σB = 8,96%;
fattore di correlazione tra A e B: ρAB = 0,823;
titolo risk free con rendimento Rf = 0,111% (poco più di 0);
best risky portfolio (già individuato dalla tangenza sulla CML) con rendimento Rp = 2,37% e rischio σp = 5,05%;
l'investitore decide di investire wp = 10% della propria ricchezza nel best risky portfolio, e il resto nel risk free.
Passo 1 – Rendimento del portafoglio complessivo dell'investitore
E(Rp complessivo) = wp · Rp + (1 – wp) · Rf
E(Rp complessivo) = 0,10 × 2,37% + 0,90 × 0,111%
E(Rp complessivo) = 0,237% + 0,0999% = 0,3369%
Passo 2 – Rischio del portafoglio complessivo dell'investitore
σp complessivo = wp × σp
σp complessivo = 0,10 × 5,05% = 0,505%
Interpretazione
Investendo solo il 10% nel best risky portfolio e il 90% nel titolo risk free, l'investitore ottiene un rendimento molto basso (circa 0,34%) ma anche un rischio molto contenuto (circa 0,51%). Questo è tipico di un investitore poco propenso al rischio: rimane vicino all'estremo "risk free" della Capital Market Line.
Se lo stesso investitore avesse scelto wp = 100%, avrebbe ottenuto esattamente il rendimento e il rischio del best risky portfolio (2,37% e 5,05%).
Se avesse scelto wp > 100% (indebitandosi al tasso risk free), avrebbe potuto ottenere un rendimento atteso ancora più alto, ma anche un rischio maggiore di quello del best risky portfolio.
Errori tipici sulla teoria del portafoglio
Calcolare il rischio come media ponderata dei rischi
È l'errore più comune. Il rischio di portafoglio va sempre calcolato con la formula completa che include la covarianza (o il fattore di correlazione), non con una semplice media ponderata come si fa per il rendimento.
Dimenticare di elevare i pesi al quadrato nella formula del rischio.
Nella formula di σp, i pesi wA e wB vanno elevati al quadrato nei primi due termini. Dimenticarlo porta a un risultato di rischio troppo alto.
Confondere covarianza e fattore di correlazione.
La covarianza indica solo la direzione del movimento tra due titoli (positiva o negativa), mentre il fattore di correlazione indica anche l'intensità, ed è per questo standardizzato tra –1 e +1.
Pensare che il minimum variance portfolio sia sempre il portafoglio migliore.
L'MVP minimizza solo il rischio, ma non tiene conto del rendimento. Il portafoglio davvero ottimo (best risky portfolio) si trova massimizzando lo Sharpe ratio, cioè il rapporto tra rendimento in eccesso e rischio.
Confondere il best risky portfolio con il portafoglio finale dell'investitore.
Il best risky portfolio è la combinazione ottima di titoli rischiosi (uguale per tutti gli investitori se il mercato è efficiente). Il portafoglio finale scelto da ciascun investitore dipende invece anche dalla sua personale avversione al rischio, cioè da quanto investe nel risk free rispetto al best risky portfolio.
Domande frequenti
Domanda: Come si calcola il rendimento atteso di un portafoglio?
Risposta: Come media ponderata dei rendimenti attesi dei singoli titoli, usando come pesi le quote investite in ciascun titolo.
Domanda: Perché il rischio di portafoglio non è una semplice media ponderata dei rischi?
Risposta: Perché mettere insieme titoli diversi genera un vantaggio dalla diversificazione (a meno che i titoli non abbiano correlazione perfettamente positiva), quindi il rischio complessivo tende a essere inferiore alla media ponderata dei rischi individuali.
Domanda: Che differenza c'è tra covarianza e fattore di correlazione?
Risposta: La covarianza indica solo la direzione del movimento tra due titoli, mentre il fattore di correlazione, compreso tra –1 e +1, indica anche l'intensità di quel movimento.
Domanda: Che cos'è la frontiera efficiente?
Risposta: È l'insieme delle combinazioni di titoli che offrono il rendimento più alto possibile per ogni dato livello di rischio.
Domanda: Che cos'è il minimum variance portfolio?
Risposta: È la combinazione di titoli che minimizza il rischio complessivo del portafoglio, indipendentemente dal rendimento ottenuto.
Domanda: Che cos'è lo Sharpe ratio e a cosa serve?
Risposta: È un indicatore che misura il rendimento in eccesso rispetto al risk free per unità di rischio; serve a confrontare portafogli diversi e a individuare il best risky portfolio, cioè quello con il miglior rapporto rendimento-rischio.
Domanda: Che cos'è la Capital Market Line?
Risposta: È la retta che parte dal titolo risk free ed è tangente alla frontiera efficiente; rappresenta tutte le combinazioni possibili tra il titolo risk free e il best risky portfolio, e la sua pendenza è pari allo Sharpe ratio.
Come usare questa guida per preparare l'esame
Per sfruttare al meglio questa guida in vista dell'esame, conviene procedere per step.
Fissa bene la teoria di base
Assicurati di saper spiegare a parole tue:
come si calcola il rendimento atteso di un portafoglio;
perché il rischio di portafoglio non è una media ponderata;
cosa rappresentano covarianza e fattore di correlazione.
Allenati sulla formula del rischio di portafoglio
È una formula lunga e va imparata bene.
Fai attenzione ai pesi al quadrato e al termine con il fattore di correlazione.
Ripeti l'esercizio finché il calcolo non diventa automatico.
Studia la logica grafica della frontiera efficiente
Prova a disegnare a mente il grafico rendimento-rischio con le combinazioni tra due titoli, individuando MVP, frontiera efficiente e parte non efficiente della curva.
Memorizza il collegamento tra Sharpe ratio, CML e best risky portfolio
Ricorda che il best risky portfolio è il punto di tangenza tra la CML e la frontiera efficiente, e che questo punto massimizza lo Sharpe ratio.
Esercitati sulla combinazione tra risk free e best risky portfolio
Prova esercizi in cui, dato un certo peso wp investito nel portafoglio rischioso, devi calcolare rendimento e rischio del portafoglio complessivo dell'investitore.
Rifai l'esempio numerico da zero
Prendi l'esempio di questa guida e ripetilo senza guardare la soluzione, controllando alla fine se ottieni gli stessi risultati.
Collega questo capitolo al CAPM
La teoria del portafoglio è la base diretta del CAPM (rendimento atteso e beta): se hai capito bene rischio, diversificazione e portafoglio ottimo, il passaggio al CAPM sarà molto più naturale.
Guarda il video
Nel video dedicato alla teoria del portafoglio trovi:
l’introduzione alla teoria del portafoglio;
La spiegazione del rendimento di un portafoglio;
Un esempio numerico sul rendimento di un portafoglio.
Scarica la risorsa gratuita
Per aiutarti negli esercizi e nel ripasso, puoi scaricare i nostri appunti gratuiti:
Clicca sul tasto qua sotto
Accedi agli appunti gratuiti tramite la nostra piattaforma
Entra all'interno della piattaforma, e tra gli allegati degli appunti, troverai i pdf
Dentro trovi schemi riassuntivi, grafici già pronti e una serie di esercizi tipo con svolgimento.
Come possiamo aiutarti
In LGEducation trovi tutto ciò che ti serve per preparare al meglio i tuoi esami:
Simulatore gratuito
Scegli la materia (microeconomia, macroeconomia, matematica finanziaria, finanza e altre), imposta il numero di domande e mettiti subito alla prova per verificare il tuo livello.
Lezioni private
Hai a disposizione un team di oltre 20 tutor qualificati per lezioni individuali costruite su misura per te. Metodo, chiarezza e supporto concreto, quando ne hai bisogno.
Videocorsi
Una piattaforma completa con un videocorso per ogni esame di Economia: contenuti chiari, essenziali e organizzati per permetterti di studiare in modo flessibile ed efficace.
Author bio
Francesco Salamone – Responsabile Formazione Tutor LGEducation
Nel 2023 ho avuto l'onore di entrare a far parte della LGEducation. Fondata nel 2023 da Lorenzo Giacomelli, essa è la prima azienda in Italia specializzata nell’aiutare studenti universitari con i loro esami di economia e finanza, 100% online. Aiutiamo gli studenti con lezioni private e videocorsi, e ci piace dare tanto valore con risorse gratuite: video su YouTube, appunti scaricabili e articoli come questo.
Commenti