Tasso spot vs tasso forward: guida completa con teoria ed esempi
- Francesca Palmieri
- 9 ore fa
- Tempo di lettura: 9 min
In questo articolo analizziamo la differenza tra tasso spot e tasso forward, due strumenti chiave della matematica finanziaria utilizzati per attualizzare e capitalizzare flussi di cassa in momenti diversi del tempo.
Questa distinzione è centrale in matematica finanziaria perché è alla base della costruzione della struttura per scadenza dei tassi di interesse (la cosiddetta curva dei rendimenti) e della corretta valutazione di titoli obbligazionari con flussi di pagamento distribuiti su più periodi, dove ogni flusso deve essere scontato con il tasso coerente con la propria scadenza.
L'articolo si sviluppa in due parti: nella prima si definisce il tasso spot e se ne illustra l'uso; nella seconda si introduce il tasso forward, mostrando come si ricava matematicamente dai tassi spot. A completare l'articolo, in un esempio numerico completo verranno applicati entrambi i concetti.
Indice:
Che cos'è il tasso spot
Il tasso spot è il tasso utilizzato per attualizzare a oggi (t₀) un flusso futuro.
Se si indica, per esempio, i₀,₂=4%, significa che il 4% è il tasso annuale da applicare per attualizzare un flusso collocato nel periodo 2, riportandolo al periodo 0.
Un aspetto rilevante è che il tasso spot è sempre espresso su base annuale, indipendentemente dalla distanza temporale del flusso a cui si riferisce.
Pertanto, i₀,₄=7% indica che il 7% è il tasso annuale necessario per scontare un flusso dal periodo 4 al periodo 0.
Quando sono disponibili più tassi spot per scadenze diverse (per esempio i₀,₁, i₀,₂, i₀,₃, i₀,₄, ciascuno con un valore proprio), è possibile costruire la struttura per scadenza dei tassi di interesse, nota anche come curva dei rendimenti: sull'asse orizzontale si riporta il tempo, sull'asse verticale il tasso di interesse corrispondente.
L'andamento di questa curva (crescente, decrescente o piatto) dipende dalle condizioni di mercato e dai fattori di rischio associati a ciascuna scadenza in un determinato momento.
Come si usa il tasso spot
Il caso più semplice di utilizzo del tasso spot è relativo alla valutazione di un'obbligazione zero coupon, cioè un titolo che prevede un unico flusso di cassa: il valore nominale, che viene rimborsato alla scadenza.
Il principio che sta dietro a ogni valutazione con i tassi spot è il seguente: il prezzo di un titolo obbligazionario è sempre pari alla somma dei valori attuali di tutti i flussi di cassa futuri che il titolo genera, ciascuno scontato con il tasso spot coerente con la propria scadenza.
In formula generale, se un titolo genera flussi F₁, F₂, ..., Fₙ nei periodi 1, 2, ..., n, il prezzo P è:
P = F₁/(1+i₀,₁)¹ + F₂/(1+i₀,₂)² + ... + Fₙ/(1+i₀,ₙ)ⁿ
Per un'obbligazione zero coupon, per trovare il prezzo attuale bisogna attualizzare l'unico flusso usando il tasso spot corrispondente alla scadenza dell'obbligazione.
Se invece l'obbligazione paga più flussi (o cedole) in periodi diversi (per esempio un'obbligazione a cedola), la procedura è la stessa, ma va ripetuta per ogni singolo flusso:
si disegna la linea del tempo con tutti i flussi;
si individua, per ogni flusso, il periodo in cui si trova;
si attualizza ogni flusso usando il tasso spot specifico per quella scadenza (non un tasso unico per tutti i flussi);
si sommano tutti i valori attualizzati per ottenere il prezzo dell'obbligazione.
Questo è il punto centrale da ricordare: ogni flusso futuro viene scontato con il proprio tasso spot, perché tassi diversi si riferiscono a scadenze diverse.
Esempio rapido
I tassi spot di mercato sono:
i₀,₁ = 3%
i₀,₂ = 4%
i₀,₃ = 6%
Caso 1 – Obbligazione zero coupon
Un' obbligazione zero coupon ha valore nominale 100€ e scadenza a 3 anni.
L'unico flusso (100) si trova al periodo 3, quindi va scontato con il tasso spot i₀,₃ = 6%:
P = 100 / (1 + 0,06)³ = 100 / 1,191016 ≈ 83,96€
Caso 2 – Obbligazione a cedola, con più flussi
Un'obbligazione con cedola ha valore nominale 100€, scadenza 3 anni e cedola annua di 5€.
I flussi sono quindi:
periodo 1: cedola = 5€
periodo 2: cedola = 5€
periodo 3: cedola + valore nominale = 5€ + 100€ = 105€
A differenza del caso zero coupon, qui ci sono tre flussi in tre periodi diversi, quindi ognuno va scontato con il proprio tasso spot:
P = 5/(1+0,03)¹ + 5/(1+0,04)² + 105/(1+0,06)³≈ 97,64€
Punto chiave: la cedola del periodo 1 (5) è stata scontata al 3% (i₀,₁), quella del periodo 2 (5) al 4% (i₀,₂), e il flusso finale del periodo 3 (105) al 6% (i₀,₃).
Se per errore si fosse usato un unico tasso (per esempio il 6% per tutti i flussi), il prezzo ottenuto sarebbe stato diverso e sbagliato, perché ogni flusso deve essere attualizzato con il tasso spot coerente con la propria scadenza.
Che cos'è il tasso forward
Il tasso forward è il tasso implicito che si ottiene a partire dai tassi spot e che si riferisce a un periodo futuro (non a oggi).
Per esempio, il tasso i₁,₃ è il tasso che si potrà utilizzare nel periodo 1 per capitalizzare un flusso fino al periodo 3.
Il punto chiave è questo: il tasso di interesse che servirà per capitalizzare un flusso da un periodo futuro a un altro periodo futuro non è ancora conosciuto oggi.
Il tasso forward è quindi una sorta di previsione implicita, ottenuta oggi a partire dai tassi spot che invece si conoscono con certezza.
Un tasso spot come i₀,₁ può essere letto in due modi:
come tasso per attualizzare un flusso dal periodo 1 al periodo 0;
come tasso per capitalizzare un flusso dal periodo 0 al periodo 1.
È proprio questa seconda lettura, applicata a più tassi spot insieme, che permette di ricavare i tassi forward.
Come si calcola un tasso forward
Per trovare un tasso forward, per esempio i₁,₃ (il tasso da utilizzare nel periodo 1 per capitalizzare fino al periodo 3), conviene seguire uno schema fisso in quattro passaggi.
Disegnare la linea del tempo
Sulla linea del tempo, individuare i due estremi del tasso forward richiesto (nell' esempio, periodo 1 e periodo 3).
Individuare i tassi spot che toccano gli stessi estremi partendo da zero
Nell' esempio servono i₀,₁ e i₀,₃, cioè i tassi spot che vanno da 0 a 1 e da 0 a 3.
Costruire due percorsi che coprono la stessa distanza
Un percorso diretto da 0 a 3 (usando i₀,₃) e un percorso a tappe da 0 a 1 e poi da 1 a 3 (usando i₀,₁ e il forward i₁,₃). I due percorsi devono coprire esattamente la stessa distanza temporale.
Tradurre il tutto in una condizione di equivalenza o di capitalizzazione
La condizione di equivalenza è il principio secondo cui capitalizzare (o attualizzare) un capitale direttamente dal periodo 0 alla scadenza finale deve dare esattamente lo stesso risultato che capitalizzarlo "a tappe", cioè passando per un periodo intermedio.
In altre parole: non deve fare differenza se un capitale cresce con un unico tasso spot per l'intero periodo, oppure se cresce prima con un tasso spot fino a un periodo intermedio e poi con il tasso forward per il tratto restante.
I due percorsi devono "arrivare nello stesso punto".
Nell'esempio la capitalizzazione da 0 a 3 deve essere uguale alla capitalizzazione da 0 a 1 moltiplicata per la capitalizzazione da 1 a 3:
(1 + i₀,₃)³ = (1 + i₀,₁)¹ × (1 + i₁,₃)²
A questo punto basta isolare il tasso forward i₁,₃ e risolvere.
i₁,₃ = √[(1 + i₀,₃)³ / (1 + i₀,₁)] – 1
Esempio numerico completo
Vediamo ora un esempio numerico completo che riprende tutti i concetti visti: tassi spot, tassi forward e prezzo di un'obbligazione a più flussi.
Traccia
In un mercato finanziario si osservano i seguenti tassi spot:
i₀,₁ = 3%
i₀,₂ = 4%
i₀,₃ = 6%
i₀,₄ = 7%
a) Calcola il prezzo di un'obbligazione con più flussi, considerando che il titolo paga:
150 al periodo 1
200 al periodo 2
250 al periodo 3
300 al periodo 4
b) Calcola i tassi forward:
I. i₁,₃
II. i₃,₄
Svolgimento
Prima di ogni calcolo, è utile disegnare la linea del tempo:
c) Ogni flusso va scontato con il proprio tasso spot:
P = 150/(1+0,03)¹ + 200/(1+0,04)² + 250/(1+0,06)³ + 300/(1+0,07)⁴≈ 769,32€
d) I. Calcolo del tasso forward i₁,₃
Il tasso forward ricercato si applica dal periodo 1 al periodo 3, partendo dai tassi spot i₀,₁= 3% e i₀,₃ = 6%.
Condizione di equivalenza:
(1 + i₀,₃)³ = (1 + i₀,₁)¹ × (1 + i₁,₃)²
Sostituendo con i dati:
(1,06)³ = (1,03) × (1 + i₁,₃)²
Calcoliamo
(1,06)³ ≈ 1,191016
Isoliamo il termine incognito:
(1 + i₁,₃)² = 1,191016 / 1,03 ≈ 1,156326
Estraiamo la radice quadrata:
1 + i₁,₃ ≈ √1,156326 ≈ 1,07533
Quindi:
i₁,₃ ≈ 0,07533 = 7,53%
Il tasso forward da 1 a 3 è circa il 7,53%.
e) II. Calcolo del tasso forward i₃,₄
Il tasso forward richiesto si applica dal periodo 3 al periodo 4, usando i₀,₃=6% e i₀,₄=7%.
Condizione di equivalenza:
(1 + i₀,₄)⁴ = (1 + i₀,₃)³ × (1 + i₃,₄)¹
Sostituendo con i dati:
(1,07)⁴ = (1,06)³ × (1 + i₃,₄)
Calcoliamo
(1,07)⁴ ≈ 1,310796 e (1,06)³ ≈ 1,191016
Isoliamo il termine incognito:
1 + i₃,₄ = 1,310796 / 1,191016 ≈ 1,10056
Quindi:
i₃,₄ ≈ 0,10056 = 10,06%
Il tasso forward da 3 a 4 è circa il 10,06%.
Errori tipici sul tasso spot e sul tasso forward
Ci sono alcuni errori che si ripetono spesso in questo argomento.
Usare un solo tasso per scontare flussi in periodi diversi
Se un'obbligazione ha flussi in più periodi, ogni flusso va scontato con il proprio tasso spot (i₀,₁ per il flusso al periodo 1, i₀,₂ per il flusso al periodo 2, e così via), non con un unico tasso uguale per tutti.
Confondere tasso spot e tasso forward
Il tasso spot serve per attualizzare a oggi un flusso futuro; il tasso forward è un tasso implicito relativo a un periodo futuro, che non si conosce con certezza finché non arriva quel periodo.
Sbagliare gli estremi nel calcolo del forward
Per trovare un tasso forward come i₁,₃, bisogna sempre usare i tassi spot che toccano esattamente gli stessi estremi (i₀,₁ e i₀,₃), non tassi spot relativi ad altri periodi.
Dimenticare gli esponenti corretti nella capitalizzazione
Nella condizione di equivalenza, ogni tasso va elevato al numero di anni corrispondente al periodo che sta capitalizzando (per esempio (1+i₀,₃)³, non semplicemente (1+i₀,₃).
Domande frequenti
Domanda: Che cos'è il tasso spot?
Risposta: È il tasso annuale che si utilizza per scontare a oggi un flusso futuro che si trova in un determinato periodo.
Domanda: Che cos'è il tasso forward?
Risposta: È il tasso implicito, ricavato dai tassi spot, che si applica a un periodo futuro (non a oggi). È una sorta di previsione, perché il tasso effettivo si conoscerà con certezza solo quando si arriverà a quel periodo.
Domanda: Come si calcola un tasso forward a partire dai tassi spot?
Risposta: Si impone che la capitalizzazione diretta da 0 alla scadenza finale sia uguale alla capitalizzazione a tappe (da 0 al periodo intermedio, e poi dal periodo intermedio alla scadenza finale usando il tasso forward), e si risolve l'equazione per il tasso forward.
Domanda: Perché ogni flusso di un'obbligazione va scontato con un tasso diverso?
Risposta: Perché ogni flusso si trova in un periodo diverso, e ogni periodo ha il proprio tasso spot associato: usare lo stesso tasso per tutti i flussi sarebbe sbagliato se i tassi spot non sono tutti uguali.
Domanda: La curva dei tassi è sempre crescente?
Risposta: No. Può essere crescente, decrescente o piatta, a seconda delle condizioni di mercato e dei fattori di rischio in un determinato momento.
Come usare questa guida per preparare l'esame
Per sfruttare al meglio questa guida in vista dell'esame, conviene procedere per step.
Fissa bene le definizioni
Assicurati di saper spiegare:
- che cos'è un tasso spot e a cosa serve;
- che cos'è un tasso forward e perché è "implicito".
Allenati a disegnare la linea del tempo
Per qualsiasi esercizio (prezzo di un'obbligazione, calcolo di un tasso forward), il primo passo è sempre disegnare la linea del tempo, individuare dove si trovano i flussi e quali tassi spot toccano quali periodi. Questo passaggio, se fatto con ordine, evita la maggior parte degli errori.
Memorizza lo schema per il calcolo del forward
Ricorda sempre i quattro passaggi: disegna il forward richiesto, individua i tassi spot che toccano gli stessi estremi, costruisci due percorsi che coprono la stessa distanza temporale, traduci il tutto nell'equazione di capitalizzazione e risolvi.
Esercitati con obbligazioni a flussi multipli
Svolgi esercizi su obbligazioni con più flussi (zero coupon e a cedola) e allenati a scontare ogni flusso con il tasso spot corretto. È il tipo di esercizio più comune agli esami di matematica finanziaria.
Guarda il video sul tasso spot vs tasso forward
Nel video dedicato al tasso spot vs tasso forward trovi:
definizioni di: tasso spot, tasso forward, curva dei tassi di interesse;
derivazione matematica del tasso forward dai tassi spot.
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