Modigliani-Miller senza tasse: guida completa con teoria ed esempi (con Beta e Capm)
Quando si arriva al calcolo del valore dell’azienda incontriamo una domanda che sembra semplice: il mix tra capitale proprio e debito può aumentare il valore dell’impresa? In altre parole, esiste una struttura finanziaria ottimale?
Per rispondere bisogna partire dal teorema di Modigliani-Miller, sviluppato da Franco Modigliani e Merton Miller.
Il teorema si studia in due versioni, senza e con tasse: qui ci concentriamo sulla prima, base di tutto il ragionamento successivo.
Vedremo perché i flussi di cassa non dipendono da come l’azienda è finanziata, cosa dicono le due proposizioni di Modigliani-Miller e come si conciliano con il WACC, fino ad arrivare ad un esercizio completo.
Indice:
Il valore dell’azienda: asset, equity e debito (considerando BETA e Capm
Il punto di partenza è il valore di mercato dell’azienda, chiamato anche enterprise value. Lo indichiamo con A, come asset.
Si calcola come somma dei flussi di cassa netti futuri scontati a un tasso adeguato:
A = Σ FCN(t) / (1 + RA)^t,
con t che va da 1 a infinito
dove:
· A è il valore di mercato dell’azienda;
· FCN(t) è il flusso di cassa netto dell’anno t;
· RA è il tasso di rendimento richiesto sull’azienda nel suo complesso;
· t è l’anno, che va fino all’infinito perché l’impresa, per ipotesi, non ha una scadenza.
Allo stesso modo il valore di mercato dell’equity, cioè il prezzo dell’azione moltiplicato per il numero di azioni, è la somma dei dividendi futuri scontati al rendimento richiesto dagli azionisti.
Il collegamento tra le due grandezze è lo stato patrimoniale a valori di mercato, mai contabili:
A = E + D
dove E è il valore di mercato dell’equity e D il valore di mercato del debito.
Se i flussi sono costanti e durano all’infinito, la sommatoria si riduce alla formula della rendita perpetua:
A = FCN / RA
È la formula che userai quasi sempre negli esercizi su Modigliani-Miller.
Perché la struttura finanziaria non cambia i flussi di cassa
Per struttura finanziaria si intende il rapporto tra debito ed equity, cioè D/E.
La domanda di partenza diventa quindi: modificando D/E riesco ad aumentare A?
A dipende da due elementi: i flussi di cassa netti e il tasso di sconto.
Ricordiamo come si costruisce il flusso di cassa netto: dall’EBIT si sottraggono le imposte calcolate sull’EBIT, si sommano nuovamente gli ammortamenti e vanno sottratti la variazione del capitale circolante e gli investimenti. Gli interessi passivi non compaiono mai.
Il flusso di cassa misura la ricchezza generata dall’attività operativa, indipendentemente da chi l’ha finanziata, e serve a remunerare entrambi i finanziatori: prima i creditori, poi gli azionisti.
Per questo possiamo scriverlo così:
FCN = flussi agli azionisti + flussi ai creditori
La conseguenza è decisiva: se l’azienda aumenta il debito, paga più interessi, ma il flusso di cassa netto non cambia, perché gli interessi non entrano nel suo calcolo.
L’unico canale con cui la struttura finanziaria potrebbe influenzare il valore è quindi il tasso di sconto.
Se, cambiando D/E riuscissimo ad abbassare RA, il valore dell’azienda salirebbe. È proprio questo che dobbiamo verificare.
Tre rischi, tre rendimenti: RE, RD e RA
Finora abbiamo usato un generico tasso R.
In realtà azionisti, creditori e azienda sopportano rischi diversi: chi porta equity è pagato per ultimo e rischia di più, chi presta denaro ha un diritto prioritario. Poiché rischio e rendimento vanno di pari passo, servono tre tassi distinti.
Il costo del debito RD si calcola come tasso privo di rischio più un premio per il rischio di insolvenza, il default spread:
RD = Rf + default spread
Il default spread dipende dal rating del debito: un’impresa solida paga uno spread minimo, una fragile uno spread elevato.
Un indicatore di solidità è l’interest coverage ratio, cioè EBIT diviso interessi: più è alto, più l’azienda può sopportare un calo dei ricavi continuando a pagare i creditori.
Il costo dell’equity RE si calcola di solito con il CAPM:
RE = Rf + βE × (RM − Rf)
dove Rf è il tasso privo di rischio, βE il beta dell’equity, che misura il rischio sistematico, e RM il rendimento atteso del mercato.
In alternativa, se il testo fornisce dividendo atteso, prezzo e tasso di crescita, puoi ricavare RE dal dividend discount model:
RE = DIV1 / P0 + g
Quale metodo usare dipende esclusivamente dai dati dell’esercizio.
Azienda unlevered e azienda levered
Il tasso RA cambia natura a seconda che l’azienda abbia debito oppure no.
Un’azienda unlevered non ha debito.
In questo caso A = E, il flusso di cassa netto va interamente agli azionisti e il rendimento dell’azienda coincide con quello dell’equity.
Questo rendimento si indica con R0:
RA = R0 = RE (solo se D = 0)
Un’azienda levered ha anche debito.
Il suo rendimento è allora una media ponderata dei rendimenti di equity e debito, chiamata WACC, costo medio ponderato del capitale:
WACC = RE × E/(D + E) + RD × D/(D + E) × (1 − tc)
dove E/(D + E) è il peso dell’equity sul totale, D/(D + E) il peso del debito e tc l’aliquota fiscale.
Il termine (1 − tc) esiste perché gli interessi sono deducibili e generano un risparmio d’imposta. Nel modello senza tasse tc è zero e la formula si semplifica:
WACC = RE × E/(D + E) + RD × D/(D + E)
La prima proposizione di Modigliani-Miller
Il modello assume mercati perfetti, investitori razionali e, nella prima versione, assenza di imposte.
In questo contesto la prima proposizione afferma:
dove VL è il valore dell’azienda levered e VU il valore della stessa azienda unlevered.
Il significato è netto: la struttura finanziaria non ha alcun impatto sul valore dell’azienda e non esiste un rapporto D/E ottimale.
Il valore dipende dai flussi operativi, non da come vengono divisi tra i finanziatori.
Scrivendo le due valutazioni con flussi perpetui:
FCN / R0 = FCN / WACC
Poiché i flussi sono identici nei due casi, l’uguaglianza implica che il WACC dell’azienda indebitata sia uguale a R0, il rendimento dell’azienda senza debito.
La seconda proposizione di Modigliani-Miller
La seconda proposizione descrive cosa succede al costo dell’equity quando l’azienda si indebita:
RE = R0 + (D/E) × (R0 − RD)
dove:
· RE è il costo dell’equity dell’azienda levered;
· R0 è il rendimento dell’azienda unlevered;
· D/E è il rapporto di indebitamento;
· RD è il costo del debito.
Il costo dell’equity cresce linearmente con la leva finanziaria. Possiamo leggere questa formula in tre modi complementari.
Il primo è intuitivo: più debito significa più rischio per gli azionisti, che chiedono quindi un rendimento più alto.
Il secondo passa dal beta. Il beta dell’equity di un’azienda indebitata, detto beta levered, si ottiene da quello unlevered:
βL = βU × [1 + (1 − tc) × D/E]
Senza tasse diventa
βL = βU × (1 + D/E).
All’aumentare di D/E sale il beta e, tramite il CAPM, sale RE.
Il terzo è manageriale. Supponiamo di prendere a prestito denaro al 3% e investirlo in progetti che rendono il 10%. Con il 10% paghiamo il 3% ai creditori e il restante 7% resta agli azionisti.
Più ampia è la differenza tra R0 e RD, e più debito usiamo, più aumenta il rendimento per gli azionisti: è l’effetto leva, rappresentato proprio dal termine
(D/E) × (R0 − RD).
Perché il WACC resta costante
Arriviamo al dubbio che quasi tutti gli studenti si pongono.
Se RD è di norma inferiore a RE e aumento il peso del debito, la media ponderata non dovrebbe diminuire?
Sì, se RE restasse fermo.
Ma, seguendo la seconda proposizione, abbiamo visto che quando il debito aumenta, aumenta anche RE.
Si muovono quindi due forze opposte: da un lato più peso sul tasso basso, che spinge il WACC verso il basso; dall’altro un costo dell’equity più alto, che lo spinge verso l’alto.
Nel modello di Modigliani-Miller senza tasse queste due forze si compensano esattamente.
Possiamo verificarlo sostituendo la seconda proposizione nel WACC.
Moltiplicando
RE per E/(D + E)
otteniamo
R0 × E/(D + E) + R0 × D/(D + E) − RD × D/(D + E).
Sommando il termine
RD × D/(D + E)
del debito, i termini in RD si annullano e resta:
WACC = R0 × [E/(D + E) + D/(D + E)] = R0
Il debito “economico” non è mai gratis: il risparmio apparente viene pagato con un costo dell’equity più alto. Sarà l’introduzione delle imposte, con il risparmio fiscale sugli interessi, a cambiare il quadro nella seconda versione del teorema
Esempio numerico completo
Dati
· Flusso di cassa netto costante e perpetuo: FCN = 1.500
· Debito iniziale: D = 0
· Beta dell’equity: βE = 1,5
· Tasso privo di rischio: Rf = 3%
· Rendimento del mercato: RM = 11%
Si chiede di calcolare il valore dell’azienda.
Successivamente l’azienda prende denaro a prestito e lo usa per riacquistare azioni, fino a raggiungere D/E = 1, a un costo RD = Rf.
Si chiede di ricalcolare il valore.
Passo 1: costo dell’equity dell’azienda unlevered
Poiché il debito è zero, RE coincide con R0. Con il CAPM:
RE = 3% + 1,5 × (11% − 3%) = 3% + 12% = 15%
Quindi R0 = 15%.
Passo 2: valore dell’azienda unlevered
I flussi sono perpetui e costanti:
VU = 1.500 / 0,15 = 10.000
Passo 3: pesi di equity e debito dopo la ricapitalizzazione
Da D/E = 1 aggiungi 1 a entrambi i membri:
1 + D/E = 2, cioè (E + D)/E = 2
Invertendo, E/(D + E) = 1/2 e quindi D/(D + E) = 1/2. Il costo del debito è RD = Rf = 3%.
Passo 4: nuovo costo dell’equity con la seconda proposizione
RE = R0 + (D/E) × (R0 − RD) = 15% + 1 × (15% − 3%) = 27%
Passo 5: verifica con il CAPM e il beta levered
Il beta di 1,5 era unlevered, perché l’azienda non aveva debito. Senza tasse:
βL = 1,5 × (1 + 1) = 3
RE = 3% + 3 × (11% − 3%) = 27%
Le due strade portano allo stesso risultato.
Passo 6: WACC e valore dell’azienda levered
WACC = 27% × 1/2 + 3% × 1/2 = 13,5% + 1,5% = 15%
VL = 1.500 / 0,15 = 10.000
Interpretazione
Il valore dell’azienda è rimasto 10.000: VL = VU, come afferma la prima proposizione.
Il costo dell’equity è salito dal 15% al 27% perché gli azionisti sopportano anche il rischio finanziario, ma il WACC è rimasto al 15%, pari a R0.
La ricapitalizzazione ha cambiato solo la ripartizione dei flussi tra i finanziatori, non la loro dimensione.
Errori tipici su Modigliani-Miller senza tasse
Gli errori su questo argomento nascono quasi sempre da una confusione tra tassi o da un passaggio saltato.
Usare RE come tasso di sconto per l’azienda levered
Quando c’è debito, il valore dell’azienda va calcolato scontando l’FCN al WACC, non al costo dell’equity. RE coincide con il tasso dell’azienda solo se D = 0.
Prima di applicare A = FCN / R chiediti sempre se l’azienda ha debito.
Riutilizzare il beta iniziale dopo l’indebitamento
Il beta fornito per un’azienda senza debito è un beta unlevered.
Se l’azienda si indebita, devi ricalcolare il beta levered prima di applicare il CAPM, altrimenti otterrai di nuovo il vecchio RE.
Scambiare D/E con D/(D + E)
Sono rapporti diversi: il primo entra nella seconda proposizione e nel beta levered, il secondo è il peso del debito nel WACC.
Con D/E = 1 il peso del debito è 1/2, non 1.
Pensare che il WACC scenda aumentando il debito
È vero solo se ignori l’aumento di RE.
Senza tasse il WACC resta costante: se nel tuo esercizio cambia, c’è un errore di calcolo.
Lasciare il fattore (1 − tc) nelle formule
In Modigliani-Miller senza tasse l’aliquota è zero, quindi il WACC e il beta levered vanno scritti senza il termine fiscale.
Sottrarre gli interessi dal flusso di cassa netto
L’FCN dell’azienda si calcola senza interessi. Se li sottrai, ottieni un flusso che dipende dalla struttura finanziaria e la logica del teorema crolla.
Domande frequenti
Domanda: Che cosa dice in sintesi Modigliani-Miller senza tasse?
Risposta: Che in mercati perfetti e senza imposte il valore dell’azienda non dipende dalla struttura finanziaria (VL = VU) e che il costo dell’equity cresce linearmente con il rapporto D/E.
Domanda: Che differenza c’è tra R0 e RE?
Risposta: R0 è il rendimento richiesto sull’azienda senza debito e riflette solo il rischio operativo. RE è il rendimento richiesto dagli azionisti e, in presenza di debito, include anche il rischio finanziario. Coincidono solo quando D = 0.
Domanda: Perché il WACC non diminuisce se il debito costa meno dell’equity?
Risposta: Perché all’aumentare del debito sale anche RE. L’effetto del maggior peso sul debito economico viene compensato esattamente dal maggior costo dell’equity, e il WACC resta pari a R0.
Domanda: Posso calcolare RE sia con la seconda proposizione sia con il CAPM?
Risposta: Sì. Con la seconda proposizione usi R0, RD e D/E; con il CAPM devi prima ricalcolare il beta levered. Se i calcoli sono corretti, i risultati coincidono.
Domanda: Come passo da D/E ai pesi del WACC?
Risposta: Aggiungi 1 a D/E per ottenere (D + E)/E, poi inverti per trovare E/(D + E). Il peso del debito è 1 meno il peso dell’equity.
Domanda: Quindi indebitarsi è inutile?
Risposta: Nel modello senza tasse non crea né distrugge valore: sposta solo il rischio e il rendimento tra creditori e azionisti. Le conclusioni cambiano quando si introducono le imposte, perché gli interessi diventano deducibili.
Domanda: Perché il modello è importante se le ipotesi sono irrealistiche?
Risposta: Perché è il caso di riferimento: sapendo che in un mondo perfetto la leva è irrilevante, capisci quali imperfezioni, come le tasse, la rendono rilevante.
Come usare questa guida per preparare l’esame
In questo argomento teoria ed esercizi si rafforzano a vicenda. Seguire questi passaggi nell’ordine ci permette di arrivare all’esame in grado sia di spiegare il teorema sia di risolvere i problemi.
Ripassare il valore dell’azienda e i flussi di cassa
Assicurarsi di sapere perché A = E + D e perché l’FCN non contiene gli interessi. Verificare spiegando a voce perché il debito non modifica i flussi dell’azienda.
Distingui con sicurezza i tre tassi
Scrivi su un foglio RD, RE, R0 e WACC, indicando per ciascuno cosa misura e come si calcola. Se riesci a dire quando R0 coincide con RE senza guardare gli appunti, sei pronto per il passo successivo.
Memorizza le due proposizioni con il loro significato
Associa a VL = VU e alla formula di RE la loro interpretazione economica. Mettiti alla prova spiegando la seconda proposizione con l’esempio del prestito al 3% investito al 10%.
Dimostra da solo che il WACC resta costante
Sostituisci la seconda proposizione nella formula del WACC e svolgi i passaggi fino a ottenere R0. È una dimostrazione spesso chiesta all’orale.
Allenati con la conversione da D/E ai pesi
Prova con valori diversi, per esempio 0,5, 1 e 2, e calcola E/(D + E) e D/(D + E). Controlla sempre che la somma dei pesi faccia 1.
Rifai l’esercizio con entrambi i metodi
Risolvi l’esempio numerico calcolando RE sia con la seconda proposizione sia con il beta levered e il CAPM. Poi cambia i dati, per esempio D/E = 0,5, e verifica che il valore dell’azienda resti invariato: se non torna, hai individuato un errore da correggere.
Preparati al passaggio al modello con tasse
Chiudi lo studio chiedendoti cosa cambierebbe reintroducendo l’aliquota tc nel WACC e nel beta levered. Se sai indicare dove compare il termine (1 − tc) e perché, hai le basi per affrontare Modigliani-Miller con le tasse.
Guarda il video
Nel video dedicato a Modigliani Miller trovi: - Formule per azienda levered e unlevered - WACC - Formule collegate al CAPM
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