Spazi vettoriali: guida completa con teoria ed esempi
Gli spazi vettoriali sono il punto di partenza dell'algebra lineare: senza questa definizione non si capiranno le matrici, i sistemi e le applicazioni lineari.
In questa guida vediamo che cos'è uno spazio vettoriale, le combinazioni lineari, la dipendenza e l’indipendenza, il prodotto scalare e un esempio numerico completo.
Indice:
L'insieme dei numeri reali
Tutto parte dall'insieme dei numeri reali, indicato con ℝ, che si divide in due famiglie: i razionali, cioè le frazioni, e gli irrazionali, i decimali illimitati che non si possono scrivere come frazioni, come √2, π o e.
Questi numeri formano un insieme ordinato e completo: possiamo rappresentarli su una retta, dove ogni punto corrisponde a un numero. Inoltre, chiameremo valore assoluto di un numero la distanza dall'origine, cioè il valore senza segno.
Su ℝ sono definite due operazioni, somma e prodotto.
La somma ha le seguenti proprietà:
associativa,
commutativa,
ha elemento neutro 0,
per ogni elemento a, esiste l’inverso (l'opposto −a).
Il prodotto gode delle stesse proprietà:
associativa,
commutativa,
ha elemento neutro 1,
per ogni elemento a≠ 0, l’inverso è 1/a,
proprietà distributiva:
a · (b + c) = a · b + a · c
Un insieme con due operazioni che soddisfano tutte queste proprietà si dice campo: ℝ è quindi un campo, ordinato e completo, la base su cui costruiamo tutto il resto.
Che cos'è uno spazio vettoriale reale
Un insieme V si dice spazio vettoriale reale se sono definite due operazioni:
la somma tra vettori di V, che è associativa, commutativa, ammette l'elemento neutro (il vettore nullo) e l'inverso (l'opposto −v);
il prodotto per uno scalare, che a un numero reale λ e a un vettore v di V associa un vettore λv di V, con le proprietà:
λ(v + w) = λv + λw (distributività rispetto alla somma di vettori);
(λ + μ)v = λv + μv (distributività rispetto alla somma in ℝ);
λ(μv) = (λμ)v (associativa);
1 · v = v (elemento neutro).
Le lettere λ e μ indicano numeri reali qualsiasi, mentre v e w sono vettori di V.
Distinguere scalari e vettori è la prima regola per non perdersi, perché il prodotto per uno scalare non è un prodotto tra due vettori, ma combina un numero e un vettore.
Gli esempi principali: ℝⁿ, polinomi e matrici
Vediamo adesso alcuni esempi di spazi vettoriali.
Esempio 1:
L'esempio più intuitivo è il piano cartesiano ℝ².
A ogni punto P = (x, y) corrisponde un vettore v = (x, y), con le coordinate in colonna e graficamente corrisponde a una freccia che va dall'origine degli assi a P.
La somma segue la regola del parallelogramma: v + w è la diagonale del parallelogramma generato dai due vettori, con coordinate pari alla somma delle coordinate:
v + w = (vₓ + wₓ, vᵧ + wᵧ)
Il prodotto per uno scalare è λv = (λvₓ, λvᵧ): geometricamente λv sta sulla stessa retta di v e ha lunghezza λ volte quella di v.
Per esempio, se λ = 2, si ha che il vettore raddoppia di lunghezza, con λ = −1 si ottiene il vettore opposto, stessa lunghezza ma verso contrario.
Con lo stesso meccanismo si definiscono ℝ³, ℝ⁴ e in generale ℝⁿ, la famiglia con cui lavoreremo di più.
Esempio 2:
Un polinomio di grado n è della forma:
aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀
dove i coefficienti a₀, a₁, …, aₙ sono numeri reali e aₙ ≠ 0.
I polinomi di grado minore o uguale a n, insieme al polinomio nullo, formano uno spazio vettoriale. Le "coordinate" di un polinomio sono i suoi coefficienti (a₀, a₁, …, aₙ) che sono n+1, quindi questo spazio corrisponderà a ℝⁿ⁺¹.
Esempio 3:
Il terzo esempio sono le matrici: tabelle a doppia entrata di dimensione n × m, con n righe e m colonne.
Le matrici con dimensione fissata formano uno spazio vettoriale con n · m coordinate.
Combinazioni lineari
Dentro uno spazio vettoriale possiamo combinare le due operazioni.
Siano v₁, v₂, …, vₙ vettori di V e a₁, a₂, …, aₙ numeri reali. Il vettore:
v = a₁v₁ + a₂v₂ + … + aₙvₙ
si dice combinazione lineare dei vettori v₁, v₂, …, vₙ con coefficienti a₁, a₂, …, aₙ.
Esempio in ℝ³:
Vediamo come v = (1, 0, 1) si può scrivere come combinazione lineare di v₁ = (0, 1, −1) e v₂ = (−1, −2, 1).
Prendendo a₁ = −2 e a₂ = −1 si ottiene:
a₁v₁+a₂v₂=−2 · (0, 1, −1) + (−1) · (−1, −2, 1) = (1, 0, 1) = v
Con poche coordinate i coefficienti si trovano a occhio, ma in generale servono i sistemi lineari, che vedremo più avanti.
Vettori linearmente dipendenti e indipendenti
Arriviamo alla definizione principale.
I vettori v₁, v₂, …, vₙ si dicono linearmente dipendenti se il vettore nullo si può scrivere come combinazione lineare non banale di essi, cioè se esistono coefficienti non tutti nulli tali che:
a₁v₁ + a₂v₂ + … + aₙvₙ = 0
Attenzione a "non banale": con tutti i coefficienti uguali a zero ottieni sempre 0, ma quella è la combinazione banale. La dipendenza richiede altri coefficienti, non tutti nulli, che diano comunque zero.
Se invece l'unico modo per ottenere la combinazione nulla è prendere tutti i coefficienti nulli, i vettori si dicono linearmente indipendenti.
In formule:
a₁v₁ + a₂v₂ + … + aₙvₙ = 0 ⇒ a₁ = a₂ = … = aₙ = 0
Questa implicazione è ciò che verifichi negli esercizi: parti dalla combinazione lineare uguale a 0, riscrivi tutto usando un sistema e cerchi le soluzioni del sistema.
Esempi:
I vettori v = (1, 0, 1), v₁ = (0, 1, −1) e v₂ = (−1, −2, 1) sono dipendenti: v = −2v₁ − v₂, da cui:
v + 2v₁ + v₂ = 0
è una combinazione non banale che dà zero.
In ℝ², invece, v₁ = (1, 0) e v₂ = (0, 1) sono indipendenti: per avere a₁ v₁+ a₂ v₂=0 serve a₁ = 0 e a₂ = 0.
Proprietà utili sulla dipendenza lineare
Stabilire se dei vettori sono dipendenti o indipendenti richiede in generale un sistema lineare, ma alcune proprietà ci permettono di rispondere a occhio e fanno risparmiare tempo all'esame:
Se un insieme di vettori comprende il vettore nullo, i vettori sono linearmente dipendenti: basta dare a quel vettore un coefficiente non nullo e zero agli altri.
Se n vettori sono indipendenti, allora ogni loro sottoinsieme è formato da vettori indipendenti.
Se un insieme ne contiene alcuni già dipendenti, tutti i vettori dell'insieme sono dipendenti.
Se n vettori sono dipendenti, almeno uno di essi si può scrivere come combinazione lineare degli altri.
In ℝⁿ, presi comunque più di n vettori, essi sono linearmente dipendenti.
Prodotto scalare e vettori ortogonali
Esiste poi un'operazione che da due vettori restituisce un numero: il prodotto scalare.
Consideriamo due vettori di ℝⁿ:
v = (v₁, v₂, …, vₙ) e w = (w₁, w₂, …, wₙ)
Il prodotto scalare tra v e w è il numero reale:
v · w = v₁w₁ + v₂w₂ + … + vₙwₙ
cioè la somma dei prodotti coordinata per coordinata.
Esempio:
In ℝ³, tra v = (1, 0, 2) e w = (−1, 4, 1):
v · w = 1 · (−1) + 0 · 4 + 2 · 1 = 1
Due vettori si dicono ortogonali se il loro prodotto scalare è zero.
Per esempio, (3, 0) e (0, 5) sono ortogonali e, rappresentati nel piano, formano un angolo retto.
Un fatto utile: due vettori non nulli e ortogonali sono sempre linearmente indipendenti. Se ti accorgi a occhio che due vettori non nulli sono ortogonali, sono indipendenti senza fare conti.
Esempio numerico
Vediamo un esercizio completo, del tipo che trovi all'esame, con vettori che dipendono da un parametro k.
Dati
Stabilire per quali valori del parametro reale k i vettori:
v₁ = (k, 1, k), v₂ = (2, k, 1), v₃ = (2, 2, 0)
sono linearmente indipendenti.
Passo 1: impostare la definizione
I vettori sono indipendenti se dall'uguaglianza:
a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃ = 0
segue necessariamente a₁ = a₂ = a₃ = 0. Sostituendo i vettori:
a₁(k, 1, k) + a₂(2, k, 1) + a₃(2, 2, 0) = (0, 0, 0)
Passo 2: tradurre in un sistema
L'uguaglianza deve valere coordinata per coordinata, quindi si traduce in tre equazioni:
prima coordinata: k a₁ + 2a₂ + 2a₃ = 0;
seconda coordinata: a₁ + k a₂ + 2a₃ = 0;
terza coordinata: k a₁ + a₂ = 0.
Ricorda che k è un parametro, da trattare come un numero: le incognite sono i coefficienti a₁, a₂, a₃.
Passo 3: risolvere per sostituzione
Dalla terza equazione ricaviamo:
a₂ = −k a₁
Nelle prime due equazioni compare in entrambe il termine 2a₃, quindi i primi due membri coincidono:
k a₁ + 2a₂ = a₁ + k a₂
Sostituiamo a₂ = −k a₁:
k a₁ − 2k a₁ = a₁ − k² a₁
Raccogliendo a₁ e portando tutto a sinistra:
(k² − k − 1) · a₁ = 0
Passo 4: discutere i casi
Per la legge di annullamento del prodotto, uno dei due fattori deve essere nullo: distinguiamo due casi.
Caso 1: (k² − k − 1 = 0)
È un'equazione di secondo grado e con la formula:
k = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)
con a = 1, b = −1, c = −1 si ottiene:
k = (1 ± √5) / 2
Se k assume uno di questi due valori, il primo fattore è nullo e a₁ può essere qualsiasi: con a₁ = 1, a₂ = −k e a₃ = k/2 si ottiene una combinazione non banale che dà zero, quindi i vettori sono dipendenti.
Caso 2: (k² − k − 1 ≠ 0, cioè k ≠ (1 ± √5)/2)
Allora necessariamente a₁ = 0, da cui a₂ = 0 e, sostituendo, anche a₃ = 0. L'unica soluzione è quella banale: i vettori sono indipendenti.
Interpretazione
I tre vettori sono indipendenti per ogni valore reale di k diverso da (1 ± √5)/2, e dipendenti esattamente per i due valori k = (1 ± √5)/2.
L'esercizio mostra il metodo generale: tradurre la definizione in un sistema e discutere in funzione del parametro.
Errori tipici sugli spazi vettoriali
Anche gli spazi vettoriali hanno i loro trabocchetti: ecco gli errori più frequenti e come evitarli.
Usare la combinazione banale per dichiarare la dipendenza
Con tutti i coefficienti uguali a zero ottieni sempre il vettore nullo, per qualunque insieme di vettori: è la combinazione banale e non dimostra nulla. La dipendenza richiede coefficienti non tutti nulli.
Invertire la definizione di indipendenza
Non bisogna confondere la definizione di indipendenza lineare con il suo viceversa.
Se tutti i coefficienti sono nulli, la combinazione lineare è sempre uguale al vettore nullo, indipendentemente dai vettori considerati. Questa proprietà, quindi, non dimostra nulla.
Per verificare l’indipendenza lineare, si parte dalla combinazione lineare uguale al vettore nullo. Se l’unica soluzione è quella banale, i vettori sono linearmente indipendenti.
Se esiste almeno una soluzione non banale, i vettori sono linearmente dipendenti.
Trattare il parametro k come un'incognita
Negli esercizi con parametro, k è un numero fisso che ancora non conosciamo: le incognite sono solo i coefficienti a₁, a₂, a₃…. Confondere parametri e incognite porta a errori: risolvi rispetto ai coefficienti e discuti il parametro alla fine.
Dimenticare di controllare tutte le coordinate
Ogni coordinata deve essere soddisfatta: basta una riga in contraddizione per concludere che la combinazione non esiste.
v₁ = (1, 0, 1) e v₂ = (1, 1, 1). Imponendo v= a₁ v₁ + a₂ v₂ e trasformandolo in sistema, si ottiene a₁ +a₂ = 1; a₂ =1; a₁ +a₂ =2.
Sostituendo il valore di a₂ nella prima, si ha a₁ = 0. Mentre se si sostituisce nella terza, si ha a₁ = 1. Poiché a₁ non può essere contemporaneamente uguale a 0 e a 1, il sistema è impossibile.
Aspettarsi indipendenza con troppi vettori in ℝⁿ
In ℝⁿ più di n vettori sono sempre dipendenti: per esempio, non esistono quattro vettori indipendenti in ℝ³. Se ti sembra che l'esercizio chieda questo, prova a rileggere bene il testo.
Come usare questa guida per preparare l'esame
Questa guida ti accompagna dal primo studio al ripasso pre-esame: ecco come usarla.
Studiare la teoria in ordine
Leggi prima le sezioni sui numeri reali, sulla definizione e sugli esempi, senza fare calcoli, per capire perché la definizione è fatta così e quali insiemi "diversi" (frecce, polinomi, matrici) condividono la stessa struttura: hai capito quando sai spiegare perché un polinomio è, a tutti gli effetti, un vettore.
Imparare le definizioni a memoria attiva
Combinazione lineare, dipendenza e indipendenza tornano in ogni esercizio. Ripetile partendo dall'implicazione formale e traducile a parole tue: se non riesci a spiegarle, non le hai ancora imparate.
Rifare l'esempio numerico a mano
Rifai l'esempio con il parametro k senza guardare la soluzione, un passaggio alla volta: definizione, sistema, sostituzione, discussione dei casi. È il metodo che userai negli esercizi analoghi.
Allenarsi a riconoscere le scorciatoie
Prendi gruppi di vettori e chiediti se valgono le proprietà utili: vettore nullo? Più di n vettori in ℝⁿ? Sottoinsieme già dipendente? Solo se la risposta è no conviene impostare il sistema: hai capito quando la domanda ti viene spontanea prima del sistema.
Esercitarsi con i vecchi esercizi d'esame
Risolvi due o tre esercizi d'esame senza appunti, poi controlla le soluzioni: quasi tutti rientrano nei due schemi visti.
Domande frequenti
Domanda: Che cos'è uno spazio vettoriale in parole semplici?
Risposta: È un insieme di oggetti, detti vettori, che si sommano e si moltiplicano per numeri reali rispettando le proprietà della definizione.
Domanda: Perché i polinomi formano uno spazio vettoriale?
Risposta: Perché i polinomi di grado al più n, con n fissato, si sommano coefficiente per coefficiente e si moltiplicano per uno scalare moltiplicando tutti i coefficienti.
Domanda: Qual è la differenza tra combinazione lineare e dipendenza lineare?
Risposta: La combinazione lineare descrive come costruire un qualsiasi vettore a partire da altri; la dipendenza è il caso speciale in cui si ottiene il vettore nullo con coefficienti non tutti nulli.
Domanda: In ℝ³, quanti vettori indipendenti si posso avere al massimo?
Risposta: Tre: in ℝⁿ più di n vettori sono necessariamente dipendenti.
Domanda: Due vettori ortogonali sono sempre indipendenti? E viceversa?
Risposta: Vettori non nulli e ortogonali sono sempre indipendenti; il viceversa è falso: l'indipendenza non richiede l'ortogonalità.
Guarda il video
Nel video sugli spazi vettoriali vedrai:
definizione di spazio vettoriale;
combinazioni lineari e distinzione tra vettori dipendenti e indipendenti;
calcolo del prodotto scalare.
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Martina Fabio – Welcome Manager e Tutor LGEducation
Mi sono laureata in Matematica con indirizzo didattico nel 2021 e ho conseguito l'abilitazione all'insegnamento per Matematica e Fisica nel 2024. Faccio lezioni private da più di 12 anni e collaboro con LGEducation dal 2023. LGEducation è la prima azienda in Italia specializzata nell’aiutare studenti universitari con i loro esami di economia e finanza, 100% online. Aiutiamo gli studenti con lezioni private e videocorsi, e ci piace dare tanto valore con risorse gratuite: video su YouTube, appunti scaricabili e articoli come questo.
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